Номер 30.41, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.41, страница 249.

Условие.

30.41. Найдите все простые $p$ такие, что число $p^2 + 11$ имеет ровно шесть различных натуральных делителей.

Решение.

Пусть $N = p^2 + 11$. По условию задачи, число $N$ должно иметь ровно шесть различных натуральных делителей. Обозначим количество делителей числа $N$ как $d(N)$. Таким образом, $d(N)=6$.

Количество натуральных делителей числа $N$, имеющего каноническое разложение на простые множители $N = q_1^{a_1} \cdot q_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot q_k^{a_k}$, вычисляется по формуле $d(N) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$.

Поскольку $d(N)=6$, а число 6 можно представить в виде произведения натуральных чисел, больших 1, двумя способами: $6$ и $2 \cdot 3$, то для разложения числа $N$ на простые множители возможны два случая:

1. $N = q^5$ для некоторого простого числа $q$. Тогда $d(N) = 5+1=6$.
2. $N = q_1^2 \cdot q_2^1$ для некоторых различных простых чисел $q_1$ и $q_2$. Тогда $d(N) = (2+1)(1+1)=6$.

Рассмотрим различные возможные значения простого числа $p$.

1. Случай $p=2$.
Если $p=2$, то $N = 2^2 + 11 = 4 + 11 = 15$.
Разложение числа 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.
Количество делителей $d(15) = (1+1)(1+1) = 4$.
Поскольку $4 \ne 6$, $p=2$ не является решением.

2. Случай $p=3$.
Если $p=3$, то $N = 3^2 + 11 = 9 + 11 = 20$.
Разложение числа 20 на простые множители: $20 = 2^2 \cdot 5$.
Этот вид соответствует второму варианту разложения ($q_1^2 \cdot q_2$ при $q_1=2$ и $q_2=5$).
Количество делителей $d(20) = (2+1)(1+1) = 6$.
Условие выполняется, следовательно, $p=3$ является решением.

3. Случай $p>3$.
Если $p$ - простое число, большее 3, то $p$ не делится на 3. Согласно малой теореме Ферма, $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
Тогда $N = p^2 + 11 \equiv 1 + 11 \pmod{3} \equiv 12 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$.
Это означает, что для любого простого $p>3$ число $N=p^2+11$ делится на 3. Следовательно, 3 является одним из простых делителей числа $N$.

Теперь рассмотрим два возможных вида числа $N$ для $p>3$:

Подслучай 3.1: $N = q^5$.
Поскольку $N$ делится на 3, то простое число $q$ должно быть равно 3.
Получаем уравнение: $p^2 + 11 = 3^5 = 243$.
Отсюда $p^2 = 243 - 11 = 232$.
Число 232 не является полным квадратом ($15^2=225$, $16^2=256$), поэтому не существует целого $p$, удовлетворяющего этому уравнению. Значит, в этом подслучае решений нет.

Подслучай 3.2: $N = q_1^2 \cdot q_2$.
Поскольку $N$ делится на 3, то либо $q_1=3$, либо $q_2=3$.

Вариант А: $q_1 = 3$.
Тогда $N = 3^2 \cdot q_2 = 9q_2$, где $q_2$ - простое число, не равное 3.
Получаем уравнение: $p^2 + 11 = 9q_2$.
Рассмотрим это уравнение по модулю 4. Так как $p$ - простое число больше 3, оно нечетное. Следовательно, $p^2 \equiv 1 \pmod{4}$.
Если $q_2=2$, то $p^2+11 = 9 \cdot 2 = 18 \implies p^2=7$, что невозможно для целого $p$.
Если $q_2$ - нечетное простое число, то $q_2^2 \equiv 1 \pmod{4}$ (здесь опечатка в рассуждении, нам нужен сам $q_2$, а не $q_2^2$). Рассмотрим $p^2+11 = 9q_2$ по модулю 3: $p^2+11 \equiv 1+2 \equiv 0 \pmod 3$, а $9q_2 \equiv 0 \pmod 3$, это тождество, которое не помогает. Рассмотрим уравнение $p^2+11 = 9q_2$ по модулю 9.$p^2 + 11 \equiv 0 \pmod{9} \implies p^2 \equiv -11 \pmod{9} \implies p^2 \equiv 7 \pmod{9}$. Квадратичные вычеты по модулю 9 это $\{0, 1, 4, 7\}$. Значит, $p$ не делится на 3 и $p \equiv 4 \pmod{9}$ или $p \equiv 5 \pmod{9}$.
Если $p \equiv 5 \pmod{9}$, то $p = 9k+5$. Так как $p$ - нечетное простое, $9k$ должно быть четным, то есть $k$ должно быть четным. Пусть $k=2m$. Тогда $p = 18m+5$.$q_2 = \frac{p^2+11}{9} = \frac{(18m+5)^2+11}{9} = \frac{324m^2+180m+25+11}{9} = 36m^2+20m+4 = 4(9m^2+5m+1)$. При $m=0$, $p=5$, $q_2=4$, не простое. При $m \ge 1$, $9m^2+5m+1 > 1$, значит $q_2$ - составное число. Если $p \equiv 4 \pmod{9}$, то $p = 9k+4$. Так как $p$ - нечетное простое, $9k$ должно быть нечетным, то есть $k$ должно быть нечетным. Пусть $k=2m-1$ для $m \ge 1$. Тогда $p=9(2m-1)+4 = 18m-5$.$q_2 = \frac{p^2+11}{9} = \frac{(18m-5)^2+11}{9} = \frac{324m^2-180m+25+11}{9} = 36m^2-20m+4 = 4(9m^2-5m+1)$. Выражение $9m^2-5m+1$ всегда положительно при целых $m$, и при $m \ge 1$ оно больше 1. Значит $q_2$ - составное число. Таким образом, в этом варианте нет решений для $p>3$.

Вариант Б: $q_2 = 3$.
Тогда $N = q_1^2 \cdot 3$, где $q_1$ - простое число, не равное 3.
Получаем уравнение: $p^2 + 11 = 3q_1^2$.
Рассмотрим это уравнение по модулю 4. Так как $p>3$, $p$ - нечетное, и $p^2 \equiv 1 \pmod{4}$.
Простое число $q_1 \ne 3$. Если $q_1=2$, то $p^2+11 = 3 \cdot 2^2 = 12 \implies p^2=1 \implies p=1$, что не является простым числом. Если $q_1>3$, то $q_1$ - нечетное простое число, и $q_1^2 \equiv 1 \pmod{4}$.
Подставляя остатки в уравнение $p^2+11 = 3q_1^2$, получаем:
$1 + 11 \equiv 3 \cdot 1 \pmod{4}$
$12 \equiv 3 \pmod{4}$
$0 \equiv 3 \pmod{4}$
Это противоречие. Следовательно, в этом варианте также нет решений.

Проанализировав все случаи, мы приходим к выводу, что единственное простое число $p$, удовлетворяющее условию задачи, это $p=3$.

Ответ: $p=3$.