Номер 30.43, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.43, страница 249.

Условие.

30.43. Докажите, что значение выражения $42^{47} + 47^{42}$ является составным числом.

Решение.

Для того чтобы доказать, что число является составным, необходимо показать, что оно имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Докажем, что данное число делится на 43.

Для этого воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Заметим, что 43 — это простое число.

Рассмотрим первое слагаемое $42^{47}$. Так как $42 = 43 - 1$, то справедливо сравнение $42 \equiv -1 \pmod{43}$. Возводя обе части сравнения в нечетную степень 47, получаем:$42^{47} \equiv (-1)^{47} \equiv -1 \pmod{43}$.

Рассмотрим второе слагаемое $47^{42}$. Так как $47 = 43 + 4$, то $47 \equiv 4 \pmod{43}$. Следовательно, $47^{42} \equiv 4^{42} \pmod{43}$. Воспользуемся малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $p$ — простое число, а $a$ — целое число, не делящееся на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. В нашем случае $p=43$ (простое число) и $a=4$ ($4$ не делится на $43$). Таким образом:$4^{43-1} \equiv 4^{42} \equiv 1 \pmod{43}$. Значит, $47^{42} \equiv 1 \pmod{43}$.

Теперь мы можем найти остаток от деления всего выражения на 43, сложив остатки слагаемых:$42^{47} + 47^{42} \equiv -1 + 1 \equiv 0 \pmod{43}$.

Полученное сравнение означает, что значение выражения $42^{47} + 47^{42}$ делится на 43 нацело. Поскольку число $42^{47} + 47^{42}$ является натуральным и очевидно больше 43, мы нашли его делитель (43), который отличен от 1 и самого числа. Следовательно, значение данного выражения является составным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения $42^{47} + 47^{42}$ является составным числом, так как оно делится на 43.