Номер 30.38, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.38, страница 249.

Условие.

30.38. Найдите все простые числа $p$ такие, что число $4p + 1$ является квадратом натурального числа.

Решение.

По условию, число $4p + 1$ является квадратом натурального числа. Обозначим это натуральное число через $n$. Тогда можно записать следующее равенство:

$4p + 1 = n^2$

где $p$ — простое число, а $n$ — натуральное число.

Перенесем 1 в правую часть уравнения и разложим правую часть на множители как разность квадратов:

$4p = n^2 - 1$

$4p = (n - 1)(n + 1)$

Поскольку $p$ — простое число, $p \ge 2$. Следовательно, $4p + 1 \ge 4(2) + 1 = 9$. Отсюда $n^2 \ge 9$, и так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 3$.

Заметим, что левая часть уравнения $4p$ является четным числом. Значит, и правая часть $(n - 1)(n + 1)$ также является четным числом. Множители $(n - 1)$ и $(n + 1)$ — это два целых числа, разность между которыми равна 2. Следовательно, они имеют одинаковую четность. Так как их произведение четно, то оба множителя должны быть четными.

Также можно заметить, что $n^2 = 4p + 1$ — число нечетное. Квадрат нечетного числа является нечетным, следовательно, $n$ — нечетное число. Представим $n$ в виде $n = 2k + 1$ для некоторого натурального числа $k$ (поскольку $n \ge 3$, то $2k+1 \ge 3$, откуда $k \ge 1$).

Подставим это выражение для $n$ в исходное уравнение:

$4p + 1 = (2k + 1)^2$

$4p + 1 = 4k^2 + 4k + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$4p = 4k^2 + 4k$

Разделим обе части на 4:

$p = k^2 + k$

Вынесем $k$ за скобки:

$p = k(k + 1)$

Мы получили, что простое число $p$ равно произведению двух последовательных натуральных чисел $k$ и $k+1$. По определению, у простого числа есть только два натуральных делителя: 1 и само это число. Следовательно, один из множителей, $k$ или $k+1$, должен быть равен 1.

Поскольку мы установили, что $k \ge 1$, то $k+1 \ge 2$. Единственно возможный случай — это $k = 1$.

Если $k = 1$, то $p = 1 \cdot (1 + 1) = 2$.

Число 2 является простым. Проверим, удовлетворяет ли это значение условию задачи. При $p = 2$ число $4p + 1$ равно $4(2) + 1 = 9$. Число 9 является квадратом натурального числа 3 ($9 = 3^2$).

Таким образом, единственное простое число, удовлетворяющее условию, — это $p=2$.

Ответ: 2