Номер 30.40, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.40, страница 249.

Условие.

30.40. Натуральное число $n$ таково, что числа $5n - 1$ и $n - 10$ делятся на-цело на простое число $p$. Найдите $p$.

Решение.

По условию задачи, натуральное число $n$ таково, что числа $5n - 1$ и $n - 10$ делятся нацело на простое число $p$.

Это означает, что $p$ является общим делителем чисел $5n - 1$ и $n - 10$.

Если число делит два других числа, то оно также делит и любую их линейную комбинацию. То есть, если $p | a$ и $p | b$, то $p | (ka + lb)$ для любых целых чисел $k$ и $l$.

Воспользуемся этим свойством, чтобы исключить переменную $n$ из выражений.

Так как $p | (n - 10)$, то $p$ также делит и произведение $5 \cdot (n-10)$, то есть $p | (5n - 50)$.

Теперь мы знаем, что $p$ делит два числа: $5n - 1$ и $5n - 50$. Следовательно, $p$ должен делить и их разность:

$(5n - 1) - (5n - 50) = 5n - 1 - 5n + 50 = 49$.

Таким образом, мы установили, что простое число $p$ является делителем числа 49.

Разложим число 49 на простые множители, чтобы найти его простые делители:

$49 = 7^2$.

Единственным простым делителем числа 49 является 7. Следовательно, $p$ может быть равно только 7.

Проверим, существует ли такое натуральное число $n$, для которого условия задачи выполняются при $p=7$.

Условие $n - 10$ делится на 7 означает, что $n - 10 = 7k$ для некоторого целого числа $k$. Отсюда $n = 7k + 10$. Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $7k + 10 \ge 1$, что означает $7k \ge -9$, или $k \ge -9/7$. Наименьшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=-1$. При $k=-1$ получаем $n = 7(-1) + 10 = 3$.

Проверим $n=3$:

Первое число: $5n - 1 = 5 \cdot 3 - 1 = 15 - 1 = 14$. Число 14 делится на 7.

Второе число: $n - 10 = 3 - 10 = -7$. Число -7 делится на 7.

Оба условия выполняются. Значит, такое число $n$ существует, и искомое простое число $p$ однозначно определено.

Ответ: 7