Номер 30.36, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.36, страница 249.

Условие.

30.36. Найдите все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению

$p^2 - 2q^2 = 1.$

Решение.

Дано уравнение $p^2 - 2q^2 = 1$, где $p$ и $q$ — простые числа. Перепишем уравнение в следующем виде:

$p^2 - 1 = 2q^2$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(p - 1)(p + 1) = 2q^2$

Так как $p$ и $q$ — простые числа, мы можем рассмотреть два основных случая в зависимости от значения $q$.

Случай 1: $q = 2$.

Подставим значение $q=2$ в исходное уравнение. 2 — единственное четное простое число.

$p^2 - 2 \cdot 2^2 = 1$

$p^2 - 2 \cdot 4 = 1$

$p^2 - 8 = 1$

$p^2 = 9$

Поскольку $p$ — простое число, оно должно быть положительным, следовательно, $p = 3$. Число 3 является простым. Таким образом, пара чисел $(p, q) = (3, 2)$ является решением.

Случай 2: $q$ — нечетное простое число.

Если $q$ — простое число, отличное от 2, то оно нечетное, то есть $q \ge 3$.

Рассмотрим уравнение в виде $p^2 = 1 + 2q^2$. Так как $q$ нечетное, то $q^2$ также нечетное. Тогда $2q^2$ — четное число. Следовательно, $p^2 = 1 + (\text{четное число})$ — нечетное число. Если квадрат числа нечетен, то и само число нечетно. Значит, $p$ — нечетное простое число, и $p \ge 3$.

Вернемся к уравнению $(p - 1)(p + 1) = 2q^2$.

Поскольку $p$ — нечетное число, $p-1$ и $p+1$ являются двумя последовательными четными числами. Произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на $2 \cdot 4 = 8$. Однако нам достаточно того, что оно делится на 4.

Левая часть $(p-1)(p+1)$ является произведением двух четных чисел, поэтому она делится на 4. Это означает, что и правая часть, $2q^2$, также должна делиться на 4.

Если $2q^2$ делится на 4, то $q^2$ должно делиться на 2. То есть $q^2$ — четное число. Если $q^2$ четно, то и само число $q$ должно быть четным.

Единственное четное простое число — это 2. Следовательно, мы приходим к выводу, что $q=2$.

Однако это противоречит нашему первоначальному предположению в этом случае, что $q$ — нечетное простое число. Следовательно, не существует решений, когда $q$ является нечетным простым числом.

Единственно возможным решением является то, которое мы нашли в первом случае.

Ответ: $p = 3, q = 2$.