Номер 30.36, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.36, страница 249.
№30.36 (с. 249)
Условие. №30.36 (с. 249)
скриншот условия
 
                                30.36. Найдите все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению
$p^2 - 2q^2 = 1.$
Решение. №30.36 (с. 249)
Дано уравнение $p^2 - 2q^2 = 1$, где $p$ и $q$ — простые числа. Перепишем уравнение в следующем виде:
$p^2 - 1 = 2q^2$
Разложим левую часть по формуле разности квадратов:
$(p - 1)(p + 1) = 2q^2$
Так как $p$ и $q$ — простые числа, мы можем рассмотреть два основных случая в зависимости от значения $q$.
Случай 1: $q = 2$.
Подставим значение $q=2$ в исходное уравнение. 2 — единственное четное простое число.
$p^2 - 2 \cdot 2^2 = 1$
$p^2 - 2 \cdot 4 = 1$
$p^2 - 8 = 1$
$p^2 = 9$
Поскольку $p$ — простое число, оно должно быть положительным, следовательно, $p = 3$. Число 3 является простым. Таким образом, пара чисел $(p, q) = (3, 2)$ является решением.
Случай 2: $q$ — нечетное простое число.
Если $q$ — простое число, отличное от 2, то оно нечетное, то есть $q \ge 3$.
Рассмотрим уравнение в виде $p^2 = 1 + 2q^2$. Так как $q$ нечетное, то $q^2$ также нечетное. Тогда $2q^2$ — четное число. Следовательно, $p^2 = 1 + (\text{четное число})$ — нечетное число. Если квадрат числа нечетен, то и само число нечетно. Значит, $p$ — нечетное простое число, и $p \ge 3$.
Вернемся к уравнению $(p - 1)(p + 1) = 2q^2$.
Поскольку $p$ — нечетное число, $p-1$ и $p+1$ являются двумя последовательными четными числами. Произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на $2 \cdot 4 = 8$. Однако нам достаточно того, что оно делится на 4.
Левая часть $(p-1)(p+1)$ является произведением двух четных чисел, поэтому она делится на 4. Это означает, что и правая часть, $2q^2$, также должна делиться на 4.
Если $2q^2$ делится на 4, то $q^2$ должно делиться на 2. То есть $q^2$ — четное число. Если $q^2$ четно, то и само число $q$ должно быть четным.
Единственное четное простое число — это 2. Следовательно, мы приходим к выводу, что $q=2$.
Однако это противоречит нашему первоначальному предположению в этом случае, что $q$ — нечетное простое число. Следовательно, не существует решений, когда $q$ является нечетным простым числом.
Единственно возможным решением является то, которое мы нашли в первом случае.
Ответ: $p = 3, q = 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 30.36 расположенного на странице 249 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №30.36 (с. 249), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    