Номер 30.30, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.30, страница 248.

Условие.

30.30. Натуральные числа $a, b, c$ таковы, что $ (a + b + c) : 13 $. Докажите, что число $a^{13} + b^{13} + c^{13}$ также кратно 13.

Решение.

Для доказательства воспользуемся малой теоремой Ферма. Она утверждает, что для любого целого числа $a$ и простого числа $p$ выполняется сравнение:

$a^p \equiv a \pmod{p}$

В данной задаче $p=13$, что является простым числом. Применим малую теорему Ферма для каждого из натуральных чисел $a$, $b$ и $c$:

$a^{13} \equiv a \pmod{13}$

$b^{13} \equiv b \pmod{13}$

$c^{13} \equiv c \pmod{13}$

Сравнения можно почленно складывать. Сложим три полученных сравнения:

$a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv a + b + c \pmod{13}$

По условию задачи, сумма $(a+b+c)$ делится на 13. Это означает, что остаток от деления $(a+b+c)$ на 13 равен 0, то есть:

$a + b + c \equiv 0 \pmod{13}$

Из двух последних сравнений по свойству транзитивности следует:

$a^{13} + b^{13} + c^{13} \equiv 0 \pmod{13}$

Это означает, что число $a^{13} + b^{13} + c^{13}$ также кратно 13, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.