Номер 30.23, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.23, страница 248.

Условие.

30.23. Числа $p$ и $p^{p+1}+2$ — простые. Найдите $p$.

Решение.

По условию, $p$ и $p^{p+1} + 2$ являются простыми числами. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Рассмотрим возможные значения $p$.

Случай 1: $p = 2$

Число 2 является простым. Подставим это значение во второе выражение: $2^{2+1} + 2 = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Число 10 не является простым, так как делится на 2 и 5. Следовательно, $p = 2$ не является решением.

Случай 2: $p = 3$

Число 3 является простым. Подставим это значение во второе выражение: $3^{3+1} + 2 = 3^4 + 2 = 81 + 2 = 83$. Число 83 является простым (оно не делится на 2, 3, 5, 7, а $\sqrt{83} \approx 9.1$). Следовательно, $p = 3$ удовлетворяет условию задачи.

Случай 3: $p > 3$

Если $p$ — простое число, большее 3, то $p$ не делится на 3. Также любое простое число $p > 2$ является нечётным.

Рассмотрим выражение $p^{p+1} + 2$ по модулю 3. Поскольку $p$ не делится на 3, то остаток от деления $p$ на 3 может быть либо 1, либо 2.

Если $p \equiv 1 \pmod{3}$, то $p^{p+1} \equiv 1^{p+1} \equiv 1 \pmod{3}$.

Если $p \equiv 2 \pmod{3}$, то это эквивалентно $p \equiv -1 \pmod{3}$. Так как $p$ — простое число больше 3, оно нечётное, следовательно, показатель степени $p+1$ является чётным числом. Тогда $p^{p+1} \equiv (-1)^{p+1} \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, для любого простого $p > 3$ справедливо сравнение $p^{p+1} \equiv 1 \pmod{3}$.

Отсюда следует, что $p^{p+1} + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что при любом простом $p > 3$ число $p^{p+1} + 2$ делится на 3. Так как при $p > 3$ значение выражения $p^{p+1} + 2$ очевидно больше 3, то оно является составным числом.

Из рассмотренных случаев следует, что единственным решением является $p = 3$.

Ответ: 3.