Номер 30.18, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.18, страница 248.

Условие.

30.18. Числа $a$ и $b$ таковы, что $56a = 65b$. Докажите, что число $a + b$ является составным.

Решение.

По условию дано равенство $56a = 65b$. Необходимо доказать, что число $a + b$ является составным.

Составное число — это натуральное число, большее 1, которое не является простым. Это означает, что оно имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Из этого определения следует, что $a$ и $b$ должны быть натуральными числами, так как иначе их сумма может не быть натуральным числом, к которому применимо понятие "составное".

Рассмотрим коэффициенты в данном равенстве:

$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$

$65 = 5 \cdot 13$

Наибольший общий делитель этих чисел $НОД(56, 65) = 1$, следовательно, числа 56 и 65 являются взаимно простыми.

Из равенства $56a = 65b$ следует, что $56a$ делится на 65. Поскольку 56 и 65 взаимно просты, то $a$ должно делиться на 65. Аналогично, $65b$ делится на 56, и так как 65 и 56 взаимно просты, то $b$ должно делиться на 56.

Таким образом, мы можем представить $a$ и $b$ в следующем виде:

$a = 65k$

$b = 56k$

где $k$ — некоторое натуральное число ($k \in \mathbb{N}$), так как $a$ и $b$ — натуральные числа.

Теперь найдем сумму $a + b$:

$a + b = 65k + 56k = (65 + 56)k = 121k$

Мы знаем, что $121 = 11 \cdot 11 = 11^2$. Значит, сумму можно записать как:

$a + b = 121k = 11^2 \cdot k$

Поскольку $k$ является натуральным числом, $k \geq 1$. Тогда наименьшее значение суммы $a + b$ будет при $k = 1$, и оно равно 121.

Число $a + b = 121k$ имеет делитель 11. Проверим, является ли это число составным:

1. Число $a + b = 121k$ больше 1, так как $k \geq 1$, следовательно, $121k \geq 121$.
2. Число $a + b$ имеет делитель 11, который не равен 1.
3. Этот делитель (11) также не равен самому числу $a + b$, поскольку $11 \neq 121k$ (так как $k \geq 1$).

Таким образом, число $a + b$ имеет делитель (например, 11), который отличен от 1 и самого числа $a + b$. По определению, это означает, что число $a + b$ является составным, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как из условия $56a = 65b$ для натуральных $a$ и $b$ следует, что $a = 65k$ и $b = 56k$ для некоторого натурального $k$, то их сумма $a+b = 121k$. Это число всегда делится на 11. Поскольку $a+b \geq 121$, то 11 является собственным делителем числа $a+b$. Следовательно, число $a+b$ является составным.