Номер 30.13, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.13, страница 248.

Условие.

30.13. Найдите все натуральные $n$, при которых является простым числом значение выражения:

1) $n^3 + 1$;

2) $3n^2 + 4n - 15$;

3) $8^n - 1$.

Решение.

Для того чтобы значение выражения было простым числом, оно должно быть натуральным числом больше 1 и делиться только на 1 и на само себя. Мы будем использовать разложение выражений на множители. Если выражение раскладывается на два множителя, отличных от 1, то оно является составным. Значит, для того чтобы число было простым, один из множителей должен быть равен 1.

1) $n^3 + 1$

Разложим выражение на множители, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$n^3 + 1 = (n + 1)(n^2 - n + 1)$

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.

Рассмотрим первый множитель $(n + 1)$. Так как $n \ge 1$, то $n + 1 \ge 1 + 1 = 2$. Этот множитель всегда больше 1.

Чтобы произведение было простым числом, второй множитель $(n^2 - n + 1)$ должен быть равен 1.

$n^2 - n + 1 = 1$

$n^2 - n = 0$

$n(n - 1) = 0$

Корнями этого уравнения являются $n = 0$ и $n = 1$. Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только $n = 1$.

Проверим это значение. При $n = 1$ выражение принимает значение:

$1^3 + 1 = 2$

Число 2 является простым. Если же $n > 1$, то оба множителя $(n + 1)$ и $(n^2 - n + 1)$ будут больше 1, и их произведение будет составным числом.

Ответ: $n = 1$.

2) $3n^2 + 4n - 15$

Разложим квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем корни уравнения $3n^2 + 4n - 15 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 3} = -3$ и $n_2 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Тогда разложение на множители имеет вид:

$3n^2 + 4n - 15 = 3(n - \frac{5}{3})(n + 3) = (3n - 5)(n + 3)$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то множитель $(n + 3) \ge 1 + 3 = 4$. Он всегда является целым числом, большим 1.

Чтобы произведение было простым, второй множитель $(3n - 5)$ должен быть равен 1 (так как $(n+3)>0$, то и $(3n-5)$ должен быть положительным).

$3n - 5 = 1$

$3n = 6$

$n = 2$

Это натуральное число. Проверим значение выражения при $n = 2$:

$3(2)^2 + 4(2) - 15 = 12 + 8 - 15 = 5$

Число 5 является простым. Если $n > 2$, то $n \ge 3$. Тогда оба множителя $(3n - 5) \ge (3 \cdot 3 - 5) = 4$ и $(n + 3) \ge (3 + 3) = 6$ больше 1, и их произведение будет составным числом.

Ответ: $n = 2$.

3) $8^n - 1$

Используем формулу разности степеней $a^k - 1 = (a - 1)(a^{k-1} + a^{k-2} + \dots + 1)$.

$8^n - 1 = (8 - 1)(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 8 + 1) = 7 \cdot (8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 1)$

Из разложения видно, что при любом натуральном $n$ значение выражения $8^n - 1$ делится на 7.

Простое число, которое делится на 7, может быть только самим числом 7.

Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось равенство:

$8^n - 1 = 7$

$8^n = 8$

$n = 1$

При $n = 1$ значение выражения равно $8^1 - 1 = 7$, что является простым числом.

Если $n > 1$, то второй множитель $(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 1)$ будет больше 1. Например, при $n = 2$ он равен $8+1=9$. Тогда значение выражения $7 \cdot 9 = 63$ является составным числом. Таким образом, при $n > 1$ значение выражения всегда будет составным числом.

Ответ: $n = 1$.