Номер 30.11, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.11, страница 247.

Условие.

30.11. Найдите все натуральные $n$, при которых значение выражения $n^2 - 1$ является простым числом.

Решение.

По условию задачи, необходимо найти все натуральные числа $n$, для которых значение выражения $n^2 - 1$ является простым числом.

Обозначим искомое простое число как $p$. Тогда $p = n^2 - 1$.

Разложим выражение $n^2 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Следовательно, простое число $p$ равно произведению двух целых чисел: $p = (n - 1)(n + 1)$.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Поскольку $p$ является произведением двух целых чисел $(n - 1)$ и $(n + 1)$, то для того, чтобы $p$ было простым, один из этих множителей должен быть равен 1, а другой — самому числу $p$. (Также возможен случай, когда один множитель равен -1, а другой -p, но так как $n$ натуральное, мы рассмотрим только положительные делители).

Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Рассмотрим возможные значения множителей:

• Если $n = 1$, то $n^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0$. Число 0 не является простым.
• Если $n \ge 2$, то оба множителя $(n-1)$ и $(n+1)$ являются натуральными числами.

Сравним множители при $n \ge 2$:

$n - 1 < n + 1$

Так как один из множителей должен быть равен 1, то это должен быть меньший из них:

$n - 1 = 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 2$

При $n = 2$ второй множитель будет равен $n + 1 = 2 + 1 = 3$.

Проверим значение исходного выражения при $n = 2$:

$n^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Число 3 является простым, что соответствует условию задачи.

Если предположить, что $n > 2$, то $n - 1 > 1$ и $n + 1 > 1$. В этом случае число $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$ будет иметь как минимум два делителя, отличных от 1 (а именно $n-1$ и $n+1$), то есть будет являться составным числом.

Следовательно, единственное натуральное значение $n$, удовлетворяющее условию, это $n = 2$.

Ответ: 2.