Номер 30.4, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.4, страница 247.

Условие.

30.4. Найдите все натуральные значения $n$, при которых числа $n$ и $n+1$ являются простыми.

Решение.

По условию задачи нам необходимо найти все натуральные значения $n$, при которых числа $n$ и $n+1$ одновременно являются простыми.

Числа $n$ и $n+1$ — это два последовательных натуральных числа. Ключевое свойство таких чисел заключается в том, что одно из них всегда чётное, а другое — нечётное.

Вспомним определение простого числа: это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя — 1 и само себя. Единственным чётным простым числом является 2. Любое другое чётное число, большее 2, делится как минимум на 1, 2 и само себя, а значит, является составным.

Поскольку в паре ($n$, $n+1$) одно из чисел обязательно чётное, то для выполнения условия задачи это чётное число должно быть равно 2. Рассмотрим два возможных случая.

1. Чётным является число $n$.
Если $n$ — чётное простое число, то $n=2$. В этом случае второе число будет $n+1 = 2+1 = 3$. Число 3 также является простым. Таким образом, пара чисел (2, 3) удовлетворяет условию, и $n=2$ является решением.

2. Чётным является число $n+1$.
Если $n+1$ — чётное простое число, то $n+1=2$. Отсюда следует, что $n=1$. Однако число 1 по определению не является ни простым, ни составным. Следовательно, этот случай не даёт решения.

Таким образом, существует единственное натуральное значение $n$, при котором оба числа $n$ и $n+1$ являются простыми.

Ответ: $2$.