Номер 30.3, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.3, страница 247.

Условие.

30.3. Может ли разность двух простых чисел быть простым числом?

Решение.

30.3. Да, разность двух простых чисел может быть простым числом. Для доказательства этого утверждения рассмотрим все возможные случаи, связанные с чётностью простых чисел.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся без остатка только на 1 и на самих себя. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные простые числа являются нечётными.

Пусть $p_1$ и $p_2$ — два простых числа, причём $p_1 > p_2$. Мы хотим выяснить, может ли их разность $p_3 = p_1 - p_2$ быть простым числом.

Случай 1: Одно из простых чисел — чётное.

Поскольку 2 — единственное чётное простое число и мы взяли $p_1 > p_2$, то $p_2$ должно быть равно 2. В этом случае $p_1$ — это некоторое нечётное простое число. Тогда их разность будет равна $p_1 - 2$. Нам нужно проверить, может ли число $p_1 - 2$ быть простым.

Приведём несколько примеров:

• Если взять простые числа $p_1 = 5$ и $p_2 = 2$, их разность равна $5 - 2 = 3$. Число 3 является простым.
• Если взять простые числа $p_1 = 7$ и $p_2 = 2$, их разность равна $7 - 2 = 5$. Число 5 является простым.
• Если взять простые числа $p_1 = 13$ и $p_2 = 2$, их разность равна $13 - 2 = 11$. Число 11 является простым.

Этот случай показывает, что разность простого числа и числа 2 может быть простым числом.

Случай 2: Оба простых числа — нечётные.

Пусть $p_1$ и $p_2$ — два различных нечётных простых числа. Разность любых двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Если $p_1 = 2k+1$ и $p_2 = 2m+1$ (где $k, m$ — целые числа, $k>m$), то их разность $p_1 - p_2 = (2k+1) - (2m+1) = 2k - 2m = 2(k-m)$. Это означает, что разность $p_1 - p_2$ всегда будет чётным числом.

Единственное простое число, которое является чётным, — это 2. Следовательно, если разность двух нечётных простых чисел является простым числом, то эта разность обязательно должна быть равна 2.

Пары простых чисел, разность между которыми равна 2, существуют. Их называют простыми-близнецами.

Приведём примеры:

• Если взять простые числа $p_1 = 5$ и $p_2 = 3$, их разность равна $5 - 3 = 2$. Число 2 является простым.
• Если взять простые числа $p_1 = 13$ и $p_2 = 11$, их разность равна $13 - 11 = 2$. Число 2 является простым.
• Если взять простые числа $p_1 = 19$ и $p_2 = 17$, их разность равна $19 - 17 = 2$. Число 2 является простым.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и в каждом из них нашли примеры, когда разность двух простых чисел является простым числом.

Ответ: Да, может. Например, разность простых чисел 5 и 2 равна 3 (простое число), а разность простых чисел 5 и 3 равна 2 (простое число).