Номер 29.29, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.29, страница 240.

Условие.

29.29. Числа 1000, 1001, ..., 1010 записали друг за другом в некотором порядке. Докажите, что у полученного 44-значного числа есть по крайней мере четыре различных натуральных делителя.

Решение.

Пусть $N$ — это 44-значное число, полученное путем записи чисел 1000, 1001, ..., 1010 друг за другом в некотором произвольном порядке. Чтобы доказать, что у числа $N$ есть по крайней мере четыре различных натуральных делителя, достаточно показать, что оно делится как минимум на два различных простых числа. Если $N$ делится на простые числа $p_1$ и $p_2$, то $1$, $p_1$, $p_2$ и их произведение $p_1 p_2$ будут четырьмя различными натуральными делителями числа $N$.

Сначала проверим делимость числа $N$ на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $N$ не зависит от порядка, в котором записаны исходные числа, так как она равна сумме цифр всех чисел от 1000 до 1010. Вычислим эту общую сумму цифр $S$. Суммы цифр для чисел от 1000 до 1010 равны соответственно: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2. Тогда общая сумма цифр числа $N$ равна:$S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2 = 57$. Поскольку $57 = 3 \times 19$, сумма цифр делится на 3. Следовательно, число $N$ делится на 3.

Теперь проверим делимость числа $N$ на 11. Пусть числа $a_1, a_2, \dots, a_{11}$ — это числа из набора $\{1000, 1001, \dots, 1010\}$, расположенные в том порядке, в котором они образуют число $N$. Каждое из этих чисел — четырехзначное. Тогда число $N$ можно представить в виде:$N = a_1 \cdot 10^{40} + a_2 \cdot 10^{36} + \dots + a_{10} \cdot 10^4 + a_{11}$. Рассмотрим это число по модулю 11. Известно, что $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Тогда $10^4 = (10^2)^2 \equiv ((-1)^2)^2 = 1^2 \equiv 1 \pmod{11}$. Отсюда следует, что любая степень вида $10^{4k}$ сравнима с 1 по модулю 11: $10^{4k} = (10^4)^k \equiv 1^k = 1 \pmod{11}$. Следовательно, для числа $N$ получаем:$N \equiv a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 1 + \dots + a_{11} \cdot 1 \pmod{11}$. Это означает, что $N$ сравнимо с суммой всех исходных чисел по модулю 11: $N \equiv \sum_{k=1000}^{1010} k \pmod{11}$. Найдем эту сумму. Это сумма 11 членов арифметической прогрессии:$\sum_{k=1000}^{1010} k = \frac{11}{2} (1000 + 1010) = \frac{11}{2} \cdot 2010 = 11 \cdot 1005$. Поскольку эта сумма кратна 11, она делится на 11 нацело. Следовательно, и число $N$ делится на 11.

Мы доказали, что число $N$ делится и на 3, и на 11. Так как 3 и 11 — различные простые числа, $N$ также делится на их произведение $3 \times 11 = 33$. Число $N$ является 44-значным, поэтому оно заведомо больше 33. Таким образом, у числа $N$ есть по крайней мере четыре различных натуральных делителя: $1, 3, 11$ и $33$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.