Номер 29.22, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.22, страница 240.

Условие.

29.22. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 999 \cdot 1000$. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так делали до тех пор, пока не получили однозначное число. Чему равно это число?

Решение.

Пусть $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000 = 1000!$.
Задача состоит в том, чтобы найти итоговое однозначное число, которое получается в результате многократного вычисления суммы цифр, начиная с числа $N$. Этот процесс по своей сути является нахождением так называемого цифрового корня числа.

Ключевым свойством этого процесса является то, что любое натуральное число и сумма его цифр имеют одинаковый остаток при делении на 9. Математически это записывается так: если $S(n)$ — это сумма цифр числа $n$, то $n \equiv S(n) \pmod{9}$.

Применяя это свойство многократно, мы приходим к выводу, что исходное число $N$ и конечный результат (однозначное число) будут иметь одинаковый остаток при делении на 9.

Найдем остаток от деления числа $N = 1000!$ на 9.

Число $1000!$ представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до 1000: $N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 1000$.

Поскольку в этом произведении одним из множителей является число 9, то всё произведение $1000!$ делится на 9 без остатка.

Следовательно, $1000! \equiv 0 \pmod{9}$.

Это означает, что итоговое однозначное число также должно делиться на 9.

Среди однозначных чисел (от 1 до 9) единственное число, которое делится на 9, — это само число 9. (Результат не может быть 0, так как сумма цифр положительного числа всегда положительна).

Таким образом, после всех вычислений получится число 9.

Ответ: 9