Номер 29.19, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.19, страница 239.

Условие.

29.19. Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 143 341 143?

Решение.

Предположим, что такое натуральное число существует. Обозначим его $N$, а произведение его цифр — $P$. По условию, $P = 143\;341\;143$.

Цифрами любого натурального числа являются целые числа из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Поскольку произведение цифр $P$ не равно нулю, ни одна из цифр числа $N$ не может быть нулём. Следовательно, все цифры числа $N$ принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Рассмотрим простые множители, из которых могут состоять эти цифры:

• $1$
• $2$ (простое)
• $3$ (простое)
• $4 = 2^2$
• $5$ (простое)
• $6 = 2 \cdot 3$
• $7$ (простое)
• $8 = 2^3$
• $9 = 3^2$

Из этого следует, что любой простой делитель произведения цифр числа $N$ должен быть одним из чисел: 2, 3, 5 или 7. Никаких других простых делителей у произведения цифр быть не может.

Теперь разложим на простые множители данное число $P = 143\;341\;143$. Проверим его делимость на простые числа. Воспользуемся признаком делимости на 11. Для этого найдем знакопеременную сумму его цифр, начиная с последней:

$3 - 4 + 1 - 1 + 4 - 3 + 3 - 4 + 1 = (3+1+4+3+1) - (4+1+3+4) = 12 - 12 = 0$.

Поскольку знакопеременная сумма цифр равна 0, число $143\;341\;143$ делится на 11 без остатка. Это означает, что 11 является простым делителем числа $P$.

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, произведение цифр $P$ должно иметь в своем разложении на простые множители только числа 2, 3, 5 и 7, а с другой стороны, число $143\;341\;143$ имеет простой множитель 11.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и такого натурального числа не существует.

Ответ: Такого натурального числа не существует.