Номер 29.18, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.18, страница 239.

Условие.

29.18. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Решение.

Пусть искомое число — $N$. Согласно условию, число $N$ должно удовлетворять трем требованиям:

1. В его записи встречаются все 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ровно по одному разу.
2. Оно кратно 36.
3. Оно является наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим первым двум условиям.

Рассмотрим эти условия подробнее.

1. Поскольку в записи числа используются все 10 различных цифр, оно является десятизначным. Чтобы число было наименьшим, его старшие разряды должны быть заполнены наименьшими возможными цифрами. Первая цифра не может быть 0, поэтому наименьшее возможное начало числа — это 1023...

2. Число делится на 36, если оно делится одновременно на 4 и на 9, так как $36 = 4 \cdot 9$ и числа 4 и 9 взаимно простые.

• Признак делимости на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 9.
  Найдем сумму всех цифр, которые будут использованы в числе:
  $S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$
  Так как $45$ делится на 9 ($45 = 5 \cdot 9$), любое число, составленное из этих десяти цифр, будет автоматически делиться на 9.
• Признак делимости на 4: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.

Итак, задача сводится к нахождению наименьшего десятизначного числа, которое является перестановкой цифр от 0 до 9 и у которого две последние цифры образуют число, делящееся на 4.

Будем конструировать число слева направо, ставя в каждый разряд наименьшую возможную из оставшихся цифр.

Начинаем с префикса $102345$.

Попытаемся составить число, начинающееся с $1023456$.
Использованы цифры: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Оставшиеся цифры для последних трех позиций: {7, 8, 9}.
Из этих цифр нужно составить трехзначное окончание, в котором число из двух последних цифр делится на 4. Возможные комбинации для двух последних цифр из {7, 8, 9}: 78, 87, 79, 97, 89, 98. Ни одно из этих чисел не делится на 4. Следовательно, не существует числа, удовлетворяющего условиям и начинающегося с $1023456$.

Значит, седьмая цифра искомого числа должна быть больше 6. Возьмем следующую по величине цифру — 7. Попробуем составить число, начинающееся с $1023457$.
Использованы цифры: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}.
Оставшиеся цифры для последних трех позиций: {6, 8, 9}.
Мы должны расположить их в конце числа так, чтобы сделать число наименьшим. Это значит, что восьмая цифра ($d_8$) должна быть как можно меньше.

• Пусть $d_8 = 6$ (наименьшая из оставшихся). Тогда для двух последних цифр остаются {8, 9}. Возможные окончания: 89 и 98. Ни одно не делится на 4.
• Пусть $d_8 = 8$. Тогда для двух последних цифр остаются {6, 9}. Возможные окончания: 69 и 96. Число 96 делится на 4. Таким образом, мы получаем число $1023457896$. Это число удовлетворяет всем условиям.
• Пусть $d_8 = 9$. Тогда для двух последних цифр остаются {6, 8}. Возможные окончания: 68 и 86. Число 68 делится на 4. Получаем число $1023457968$.

Сравним два найденных числа: $1023457896$ и $1023457968$. Очевидно, что первое меньше.

Любое другое число, удовлетворяющее условиям, будет начинаться с большего префикса (например, $1023458...$) и, следовательно, будет больше, чем $1023457896$.

Таким образом, наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр, — это $1023457896$.

Ответ: 1023457896