Номер 29.16, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.16, страница 239.

Условие.

29.16. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число $62**427$ делилось нацело на 99.

Решение.

Чтобы число делилось нацело на 99, оно должно одновременно делиться на 9 и на 11, поскольку числа 9 и 11 взаимно простые и их произведение равно 99 ($9 \times 11 = 99$).

Обозначим неизвестные цифры, стоящие на месте звёздочек, как $x$ и $y$. Тогда искомое число имеет вид $62xy427$.

Признак делимости на 9.

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Найдём сумму цифр нашего числа:

$S = 6 + 2 + x + y + 4 + 2 + 7 = 21 + x + y$

Сумма $S$ должна быть кратна 9. Так как $x$ и $y$ — это цифры, то $0 \le x \le 9$ и $0 \le y \le 9$. Следовательно, их сумма $x+y$ может принимать значения от 0 до 18. Тогда общая сумма $S$ находится в диапазоне от $21+0=21$ до $21+18=39$. В этом диапазоне кратными 9 являются числа 27 и 36. Это дает нам два возможных случая:

1) $21 + x + y = 27 \implies x + y = 6$

2) $21 + x + y = 36 \implies x + y = 15$

Признак делимости на 11.

Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа налево), и суммой цифр на чётных местах, делится на 11.

Сумма цифр на нечётных местах (первое, третье, пятое, седьмое): $7 + 4 + x + 6 = 17 + x$.

Сумма цифр на чётных местах (второе, четвертое, шестое): $2 + y + 2 = 4 + y$.

Разность этих сумм: $(17 + x) - (4 + y) = 13 + x - y$.

Эта разность должна быть кратна 11. Так как $-9 \le x - y \le 9$, то значение выражения $13 + x - y$ находится в диапазоне от $13-9=4$ до $13+9=22$. В этом диапазоне есть только два числа, кратных 11: это 11 и 22. Получаем еще два случая:

а) $13 + x - y = 11 \implies x - y = -2$

б) $13 + x - y = 22 \implies x - y = 9$

Поиск решения.

Теперь необходимо найти цифры $x$ и $y$, решая системы уравнений, составленные из полученных условий.

• Система из (1) и (а): $\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = -2 \end{cases}$. Сложив два уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x = 2$. Подставив $x$ в первое уравнение, найдем $y$: $2 + y = 6 \implies y = 4$. Пара $(2, 4)$ является решением, так как обе цифры допустимы.

• Система из (1) и (б): $\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 9 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 15$, откуда $x = 7.5$, что не является цифрой.

• Система из (2) и (а): $\begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = -2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 13$, откуда $x = 6.5$, что не является цифрой.

• Система из (2) и (б): $\begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 9 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 24$, откуда $x = 12$, что не является цифрой.

Единственным решением, где $x$ и $y$ являются цифрами, является $x=2$ и $y=4$. Следовательно, искомое число — 6224427.

Ответ: Вместо первой звёздочки нужно подставить цифру 2, а вместо второй — 4.