Номер 29.13, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.13, страница 239.

Условие.

29.13. Вместо звёздочки подставьте такую цифру, чтобы число 1 876 74* делилось нацело на 33.

Решение.

Для того чтобы число делилось нацело на 33, оно должно делиться одновременно и на 3, и на 11, так как 3 и 11 являются взаимно простыми множителями числа 33 ($33 = 3 \times 11$).

Обозначим искомую цифру, стоящую на месте звёздочки, через $x$. Тогда число примет вид $187674x$.

Рассмотрим последовательно два условия делимости.

1. Делимость на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму цифр данного числа:

$S = 1 + 8 + 7 + 6 + 7 + 4 + x = 33 + x$

Сумма $33 + x$ будет делиться на 3 в том случае, если $x$ будет делиться на 3 (поскольку число 33 уже делится на 3). Так как $x$ — это цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Следовательно, возможные значения для $x$: 0, 3, 6, 9.

2. Делимость на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах (считая слева), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Сумма цифр на нечётных местах (первая, третья, пятая, седьмая):

$S_{нечёт} = 1 + 7 + 7 + x = 15 + x$

Сумма цифр на чётных местах (вторая, четвёртая, шестая):

$S_{чёт} = 8 + 6 + 4 = 18$

Найдём разность этих сумм:

$D = S_{чёт} - S_{нечёт} = 18 - (15 + x) = 3 - x$

Это выражение должно делиться на 11. Поскольку $x$ — это цифра от 0 до 9, то выражение $3 - x$ может принимать значения в диапазоне от $3 - 9 = -6$ до $3 - 0 = 3$. Единственное целое число в этом диапазоне, которое делится на 11, — это 0.

Следовательно, мы должны решить уравнение:

$3 - x = 0$

$x = 3$

Заключение

Из признака делимости на 3 мы получили, что $x$ может быть 0, 3, 6 или 9. Из признака делимости на 11 мы получили, что $x$ должен быть равен 3. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — это 3.

Проверим: подставим 3 вместо звёздочки, получим число 1 876 743. Разделим его на 33:

$1876743 \div 33 = 56871$

Деление выполняется без остатка, следовательно, цифра 3 является верным решением.

Ответ: 3