Номер 29.7, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.7, страница 239.

Условие.

29.7. Докажите, что $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_{k-1} a_k \ldots a_0} \equiv \overline{a_{k-1} a_{k-2} \ldots a_0} \pmod{5^k}$.

Решение.

Обозначим число $N = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_k a_{k-1} \dots a_0}$ и число $M = \overline{a_{k-1} a_{k-2} \dots a_0}$. Черта сверху означает, что это запись числа в десятичной системе счисления, а не произведение цифр. Нам нужно доказать, что $N \equiv M \pmod{5^k}$.

Представим число $N$ в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0$.

Сгруппируем слагаемые, выделив число, образованное последними $k$ цифрами: $N = (a_n \cdot 10^n + \dots + a_k \cdot 10^k) + (a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + a_0)$. Выражение во второй скобке — это в точности число $M = \overline{a_{k-1} a_{k-2} \dots a_0}$.

Рассмотрим первую группу слагаемых. Вынесем за скобки общий множитель $10^k$: $a_n \cdot 10^n + \dots + a_k \cdot 10^k = 10^k \cdot (a_n \cdot 10^{n-k} + \dots + a_k)$. Выражение в скобках является целым числом, которое в десятичной записи имеет вид $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_k}$.

Таким образом, число $N$ можно представить как: $N = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_k} \cdot 10^k + \overline{a_{k-1} a_{k-2} \dots a_0}$, что равносильно $N = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_k} \cdot 10^k + M$.

По определению сравнения по модулю, доказать $N \equiv M \pmod{5^k}$ равносильно доказательству того, что разность $N - M$ делится на $5^k$ нацело.

Вычислим эту разность: $N - M = (\overline{a_n a_{n-1} \dots a_k} \cdot 10^k + M) - M = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_k} \cdot 10^k$.

Теперь проанализируем полученное выражение на делимость. Разложим $10^k$ на простые множители: $10^k = (2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k$.

Подставим это в выражение для разности: $N - M = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_k} \cdot 2^k \cdot 5^k$.

Поскольку $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_k}$ и $2^k$ являются целыми числами, их произведение $C = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_k} \cdot 2^k$ также является целым числом. Следовательно, $N - M = C \cdot 5^k$, где $C$ — целое число. Это означает, что разность $N - M$ делится на $5^k$ без остатка.

Таким образом, мы доказали, что $N \equiv M \pmod{5^k}$, что и требовалось.

Ответ: Утверждение доказано.