Номер 29.2, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.2, страница 238.

Условие.

29.2. Докажите, что $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod 4$.

Решение.

Любое целое число $N$, записанное в десятичной системе счисления как $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0}$, можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых:

$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0$.

Мы можем сгруппировать слагаемые, чтобы отделить число, образованное двумя последними цифрами, от остальной части числа:

$N = (a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_2 \cdot 10^2) + (a_1 \cdot 10 + a_0)$.

Выражение $a_1 \cdot 10 + a_0$ — это число $\overline{a_1 a_0}$. В первой группе слагаемых, начиная со слагаемого с $10^2$, можно вынести за скобки множитель 100:

$a_n \cdot 10^n + \ldots + a_2 \cdot 10^2 = 100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + a_{n-1} \cdot 10^{n-3} + \ldots + a_2)$.

Таким образом, исходное число $N$ можно записать как:

$N = 100 \cdot (a_n \cdot 10^{n-2} + \ldots + a_2) + \overline{a_1 a_0}$.

Теперь рассмотрим это равенство по модулю 4. Нам нужно доказать, что $N$ и $\overline{a_1 a_0}$ имеют одинаковые остатки при делении на 4.

Найдем остаток от деления числа 100 на 4. Поскольку $100 = 4 \cdot 25$, число 100 делится на 4 без остатка. В терминах сравнений по модулю это записывается как:

$100 \equiv 0 \pmod{4}$.

Используя свойства сравнений, мы можем умножить обе части на любое целое число. Обозначим выражение в скобках как $K = a_n \cdot 10^{n-2} + \ldots + a_2$. Тогда:

$100 \cdot K \equiv 0 \cdot K \pmod{4}$,

$100 \cdot K \equiv 0 \pmod{4}$.

Теперь вернемся к нашему числу $N = 100 \cdot K + \overline{a_1 a_0}$ и рассмотрим его по модулю 4:

$N \equiv (100 \cdot K + \overline{a_1 a_0}) \pmod{4}$.

Так как $100 \cdot K \equiv 0 \pmod{4}$, мы можем заменить это выражение на 0:

$N \equiv (0 + \overline{a_1 a_0}) \pmod{4}$,

$N \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{4}$.

Следовательно, мы доказали, что $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0} \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{4}$, что и требовалось доказать. Это означает, что остаток от деления любого целого числа на 4 совпадает с остатком от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами.

Ответ: Доказано, что $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0} \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{4}$.