Номер 29.3, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.3, страница 238.

Условие.

29.3. Докажите, что $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0} \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$.

Решение.

Пусть $N = \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$. Любое целое число $N$ можно представить в виде суммы числа, образованного его последними двумя цифрами, и числа, которое заканчивается на два нуля и имеет те же цифры в старших разрядах.

То есть, $N = \overline{a_n a_{n-1}...a_2 00} + \overline{a_1 a_0}$.

Первое слагаемое в этой сумме можно записать как произведение целого числа на 100:$\overline{a_n a_{n-1}...a_2 00} = (a_n \cdot 10^{n-2} + a_{n-1} \cdot 10^{n-3} + \dots + a_2) \cdot 100$.

Таким образом, исходное число $N$ можно представить в виде:$N = (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 + \overline{a_1 a_0}$.

Теперь рассмотрим это равенство по модулю 25. Мы хотим доказать, что $N \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$.$N = (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 + \overline{a_1 a_0}$.

Используя свойства сравнений по модулю, мы можем рассмотреть каждое слагаемое отдельно:$N \pmod{25} \equiv \left( (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 \right) \pmod{25} + \left( \overline{a_1 a_0} \right) \pmod{25}$.

Так как $100 = 4 \cdot 25$, число 100 делится на 25 нацело. В терминах сравнений это записывается как $100 \equiv 0 \pmod{25}$. Следовательно, первое слагаемое сравнимо с нулем по модулю 25:$(a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 \equiv (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 0 \equiv 0 \pmod{25}$.

Подставляя этот результат в наше сравнение для $N$, получаем:$N \equiv 0 + \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$,что упрощается до$N \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$.

Таким образом, мы доказали, что $\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$. Это означает, что остаток от деления любого числа на 25 такой же, как и остаток от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами.

Ответ: Доказательство основано на том, что любое число $N$ можно представить в виде $N = 100 \cdot K + M$, где $M$ — число, образованное двумя последними цифрами $N$, а $K$ — некоторое целое число. Так как $100$ делится на $25$, слагаемое $100 \cdot K$ делится на $25$ и, следовательно, сравнимо с нулём по модулю $25$. Отсюда следует, что $N \equiv M \pmod{25}$.