Номер 29.3, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.3, страница 238.
№29.3 (с. 238)
Условие. №29.3 (с. 238)
скриншот условия
 
                                29.3. Докажите, что $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0} \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$.
Решение. №29.3 (с. 238)
Пусть $N = \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$. Любое целое число $N$ можно представить в виде суммы числа, образованного его последними двумя цифрами, и числа, которое заканчивается на два нуля и имеет те же цифры в старших разрядах.
То есть, $N = \overline{a_n a_{n-1}...a_2 00} + \overline{a_1 a_0}$.
Первое слагаемое в этой сумме можно записать как произведение целого числа на 100:$\overline{a_n a_{n-1}...a_2 00} = (a_n \cdot 10^{n-2} + a_{n-1} \cdot 10^{n-3} + \dots + a_2) \cdot 100$.
Таким образом, исходное число $N$ можно представить в виде:$N = (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 + \overline{a_1 a_0}$.
Теперь рассмотрим это равенство по модулю 25. Мы хотим доказать, что $N \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$.$N = (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 + \overline{a_1 a_0}$.
Используя свойства сравнений по модулю, мы можем рассмотреть каждое слагаемое отдельно:$N \pmod{25} \equiv \left( (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 \right) \pmod{25} + \left( \overline{a_1 a_0} \right) \pmod{25}$.
Так как $100 = 4 \cdot 25$, число 100 делится на 25 нацело. В терминах сравнений это записывается как $100 \equiv 0 \pmod{25}$. Следовательно, первое слагаемое сравнимо с нулем по модулю 25:$(a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 100 \equiv (a_n \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2) \cdot 0 \equiv 0 \pmod{25}$.
Подставляя этот результат в наше сравнение для $N$, получаем:$N \equiv 0 + \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$,что упрощается до$N \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$.
Таким образом, мы доказали, что $\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} \equiv \overline{a_1 a_0} \pmod{25}$. Это означает, что остаток от деления любого числа на 25 такой же, как и остаток от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами.
Ответ: Доказательство основано на том, что любое число $N$ можно представить в виде $N = 100 \cdot K + M$, где $M$ — число, образованное двумя последними цифрами $N$, а $K$ — некоторое целое число. Так как $100$ делится на $25$, слагаемое $100 \cdot K$ делится на $25$ и, следовательно, сравнимо с нулём по модулю $25$. Отсюда следует, что $N \equiv M \pmod{25}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 29.3 расположенного на странице 238 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №29.3 (с. 238), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    