Номер 29.9, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.9, страница 239.

Условие.

29.9. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы образовавшееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Пусть слева к числу 15 приписали цифру a, а справа — цифру b. Получилось четырехзначное число вида $a15b$. Поскольку это четырехзначное число, цифра a не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра b может быть любой от 0 до 9, то есть $b \in \{0, 1, 2, ..., 9\}$.

По условию задачи, образовавшееся число должно быть кратно 15. Число делится на 15, если оно делится одновременно и на 3, и на 5.

1. Признак делимости на 5:
Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Следовательно, цифра b может быть равна только 0 или 5.

2. Признак делимости на 3:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $a15b$ равна $S = a + 1 + 5 + b = a + 6 + b$.

Рассмотрим два возможных случая для цифры b.

Случай 1: b = 0.
Число имеет вид $a150$. Сумма его цифр $S = a + 1 + 5 + 0 = a + 6$.
Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр $a + 6$ должна делиться на 3. Так как 6 делится на 3, то и цифра a должна делиться на 3.
Учитывая, что $a \neq 0$, возможные значения для a: 3, 6, 9.
Получаем три числа: 3150, 6150, 9150.

Случай 2: b = 5.
Число имеет вид $a155$. Сумма его цифр $S = a + 1 + 5 + 5 = a + 11$.
Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр $a + 11$ должна делиться на 3.
Подберем подходящие значения a из множества $\{1, 2, ..., 9\}$:
Если $a = 1$, то $S = 1 + 11 = 12$. $12 \vdots 3$. Подходит.
Если $a = 4$, то $S = 4 + 11 = 15$. $15 \vdots 3$. Подходит.
Если $a = 7$, то $S = 7 + 11 = 18$. $18 \vdots 3$. Подходит.
Другие значения a не подходят. В этом случае возможные значения для a: 1, 4, 7.
Получаем еще три числа: 1155, 4155, 7155.

Всего, объединяя результаты из двух случаев, мы нашли $3 + 3 = 6$ чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 6 решений.