Номер 29.14, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.14, страница 239.

Условие.

29.14. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число $2\ 83* 64*$ делилось нацело на $55$.

Решение.

Обозначим искомое число как $283x64y$, где $x$ и $y$ — это цифры, которые нужно найти вместо звёздочек.

Чтобы число делилось нацело на 55, оно должно одновременно делиться на 5 и на 11, так как $55 = 5 \cdot 11$, а числа 5 и 11 являются взаимно простыми.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. В нашем случае последняя цифра — это $y$. Следовательно, возможны два варианта: $y=0$ или $y=5$.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа налево), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Для числа $283x64y$ найдём эту разность.

Сумма цифр на нечётных местах (1-е, 3-е, 5-е, 7-е): $y + 6 + 3 + 2 = y + 11$.
Сумма цифр на чётных местах (2-е, 4-е, 6-е): $4 + x + 8 = x + 12$.

Разность этих сумм должна делиться на 11: $(y + 11) - (x + 12) = y - x - 1$.

Теперь последовательно рассмотрим два случая, которые мы получили из признака делимости на 5.

Случай 1: $y = 0$

Подставим $y = 0$ в выражение $y - x - 1$. Получим $0 - x - 1 = -x - 1$.
Поскольку $x$ — это цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Тогда выражение $-x - 1$ может принимать значения от $-1$ (при $x=0$) до $-10$ (при $x=9$). В этом диапазоне нет целых чисел, которые делятся на 11. Следовательно, этот случай не даёт решений.

Случай 2: $y = 5$

Подставим $y = 5$ в выражение $y - x - 1$. Получим $5 - x - 1 = 4 - x$.
Это выражение должно делиться на 11. Поскольку $x$ — это цифра от 0 до 9, выражение $4 - x$ может принимать значения от $4$ (при $x=0$) до $-5$ (при $x=9$). Единственное целое число в этом диапазоне, которое делится на 11, — это 0.
Следовательно, должно выполняться равенство $4 - x = 0$, откуда находим $x = 4$.

Таким образом, мы нашли единственное решение: первая звёздочка ($x$) — это цифра 4, а вторая звёздочка ($y$) — это цифра 5. Искомое число — 2 834 645.

Проверка: Число 2 834 645 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. Разность сумм цифр на нечётных и чётных позициях равна $(5+6+3+2) - (4+4+8) = 16 - 16 = 0$. Так как 0 делится на 11, то и число 2 834 645 делится на 11. Следовательно, число делится на 55.

Ответ: Вместо первой звёздочки нужно подставить цифру 4, а вместо второй — 5. Получится число 2 834 645.