Номер 29.12, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.12, страница 239.

Условие.

29.12. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число $3*4*$ делилось нацело на 9. Найдите все возможные решения.

Решение.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Заданное число имеет вид $3*4*$. Обозначим первую неизвестную цифру (на месте сотен) как $x$, а вторую (на месте единиц) как $y$. Таким образом, число можно представить как $3x4y$.

Сумма цифр этого числа равна: $S = 3 + x + 4 + y = 7 + x + y$.

Поскольку $x$ и $y$ — это цифры, они могут принимать любые целые значения от 0 до 9. Следовательно, их сумма $x+y$ может принимать значения в диапазоне от $0+0=0$ до $9+9=18$.

Тогда общая сумма цифр $S = 7 + x + y$ находится в диапазоне от $7+0=7$ до $7+18=25$.

В этом диапазоне (от 7 до 25 включительно) есть только два числа, которые делятся нацело на 9: это 9 и 18. Рассмотрим два возможных случая для суммы цифр.

Случай 1: Сумма цифр равна 9.
$7 + x + y = 9$
$x + y = 2$
Найдём все пары цифр $(x, y)$, сумма которых равна 2: (0, 2), (1, 1), (2, 0).
Это даёт нам следующие числа: 3042, 3141, 3240.

Случай 2: Сумма цифр равна 18.
$7 + x + y = 18$
$x + y = 11$
Найдём все пары цифр $(x, y)$, сумма которых равна 11: (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2).
Это даёт нам следующие числа: 3249, 3348, 3447, 3546, 3645, 3744, 3843, 3942.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все возможные числа.

Ответ: 3042, 3141, 3240, 3249, 3348, 3447, 3546, 3645, 3744, 3843, 3942.