Номер 29.17, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.17, страница 239.

Условие.

29.17. Шестизначное число кратно 8. Какая наибольшая сумма цифр может быть у него?

Решение.

Согласно признаку делимости на 8, число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8.

Мы ищем шестизначное число с наибольшей суммой цифр. Чтобы сумма цифр была максимальной, сами цифры должны быть как можно больше. Максимальная цифра — 9. Пусть наше число имеет вид $\overline{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6}$.

Первые три цифры ($a_1, a_2, a_3$) не влияют на делимость на 8, поэтому для получения максимальной суммы мы можем взять их равными 9. Тогда наше число будет иметь вид $\overline{999a_4 a_5 a_6}$. Сумма первых трех цифр равна $9+9+9=27$.

Теперь нам нужно найти трехзначное число $\overline{a_4 a_5 a_6}$, которое делится на 8 и имеет максимально возможную сумму цифр. Будем перебирать кандидатов на наибольшую сумму цифр для трехзначного числа в порядке убывания.

Максимальная сумма цифр для трехзначного числа — $9+9+9=27$ (для числа 999). Но 999 не делится на 8.

Следующая по величине сумма — 26. Ее можно получить из цифр 9, 9, 8. Из них можно составить числа 998, 989, 899. Ни одно из них не делится на 8.

Следующая сумма — 25. Ее можно получить из цифр (9, 9, 7) или (9, 8, 8). Числа, которые можно составить: 997, 979, 799, 988, 898, 889. Ни одно из них не делится на 8.

Следующая сумма — 24. Цифры могут быть (9, 9, 6), (9, 8, 7) или (8, 8, 8). Проверяем числа, составленные из этих цифр. Из набора (8, 8, 8) получается число 888. Проверим его делимость на 8: $888 \div 8 = 111$. Число 888 делится на 8, и сумма его цифр равна $8+8+8=24$. Мы нашли наибольшую возможную сумму цифр для трехзначного числа, кратного 8.

Таким образом, чтобы получить шестизначное число, кратное 8, с наибольшей суммой цифр, нужно взять первые три цифры равными 9, а последние три цифры должны образовывать число 888. Получаем число 999888.

Общая сумма цифр этого числа равна сумме цифр первых трех и последних трех: $(9+9+9) + (8+8+8) = 27 + 24 = 51$.

Ответ: 51