Номер 29.21, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.21, страница 239.

Условие.

29.21. Может ли натуральное число, в записи которого есть только цифры 0 и 6, быть квадратом натурального числа?

Решение.

Предположим, что такое натуральное число $N$ существует, то есть $N = k^2$ для некоторого натурального числа $k$, и в десятичной записи числа $N$ используются только цифры 0 и 6.

Рассмотрим, на какую цифру может оканчиваться число $N$. Поскольку $N$ состоит только из цифр 0 и 6, и является натуральным числом, его последняя цифра может быть либо 0, либо 6.

Случай 1: Число $N$ оканчивается на 0.
Если квадрат натурального числа оканчивается на 0, то он должен быть кратен 10. А если число кратно 10, то его квадрат кратен $10^2 = 100$. Это означает, что любой полный квадрат, оканчивающийся на 0, должен оканчиваться как минимум на два нуля (00). В общем случае, полный квадрат должен оканчиваться на четное число нулей.
Пусть $N = M \cdot 10^{2m}$, где $M$ — натуральное число, не оканчивающееся на 0, а $m \ge 1$. Для того чтобы $N$ было полным квадратом, число $M$ также должно быть полным квадратом. При этом число $M$ состоит из тех же цифр, что и $N$ (0 и 6), но его последняя цифра равна 6.
Таким образом, задача сводится к проверке, может ли число, состоящее только из цифр 0 и 6 и оканчивающееся на 6, быть полным квадратом.

Случай 2: Число $N$ оканчивается на 6.
Этот случай включает в себя как исходное предположение, так и результат рассмотрения первого случая. Итак, пусть $N$ (или $M$ из первого случая) — это полный квадрат, который оканчивается на 6 и состоит только из цифр 0 и 6.

Рассмотрим свойства любого полного квадрата, оканчивающегося на 6. Если $N = k^2$ и последняя цифра $N$ — это 6, то последняя цифра числа $k$ должна быть 4 или 6.

• Если $k$ оканчивается на 4, его можно представить в виде $k = 10a + 4$ для некоторого целого неотрицательного $a$.
  Тогда $N = k^2 = (10a + 4)^2 = 100a^2 + 80a + 16 = 100(a^2) + 10(8a + 1) + 6$.
  Цифра в разряде десятков числа $N$ равна последней цифре числа $8a + 1$. Так как $8a$ — четное число, то $8a + 1$ — всегда нечетное. Следовательно, цифра десятков числа $N$ должна быть нечетной.
• Если $k$ оканчивается на 6, его можно представить в виде $k = 10a + 6$.
  Тогда $N = k^2 = (10a + 6)^2 = 100a^2 + 120a + 36 = 100(a^2 + a) + 10(2a + 3) + 6$.
  Цифра в разряде десятков числа $N$ равна последней цифре числа $2a + 3$. Так как $2a$ — четное число, то $2a + 3$ — всегда нечетное. Следовательно, и в этом случае цифра десятков числа $N$ должна быть нечетной.

Таким образом, мы установили, что у любого полного квадрата, оканчивающегося на 6, цифра в разряде десятков обязательно нечетная (1, 3, 5, 7 или 9).

Однако по условию задачи, наше число $N$ состоит только из цифр 0 и 6. Если его последняя цифра — 6, то предпоследняя цифра (цифра в разряде десятков) может быть только 0 или 6. Обе эти цифры — четные.

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, цифра десятков нашего числа должна быть нечетной, так как это полный квадрат, оканчивающийся на 6. С другой стороны, она должна быть четной (0 или 6) по условию задачи. Такое число существовать не может.

Следовательно, натуральное число, в записи которого есть только цифры 0 и 6, не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: Нет, не может.