Номер 29.28, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.28, страница 240.

Условие.

29.28. Можно ли, используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 по одному разу, записать шестизначное число, которое делится нацело на 11?

Решение.

Для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делилась на 11.

Пусть искомое шестизначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений, имеет вид $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6$.

Обозначим $S_{нечет}$ — сумму цифр, стоящих на нечётных местах (первом, третьем, пятом), и $S_{чет}$ — сумму цифр, стоящих на чётных местах (втором, четвёртом, шестом).
$S_{нечет} = d_1 + d_3 + d_5$
$S_{чет} = d_2 + d_4 + d_6$

Согласно признаку делимости на 11, должно выполняться условие: $S_{нечет} - S_{чет} = 11k$, где $k$ — некоторое целое число.

Сумма всех цифр, из которых состоит число, является постоянной величиной:
$S_{общая} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$.
Эта общая сумма также равна сумме цифр на нечетных и четных местах: $S_{общая} = S_{нечет} + S_{чет}$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
1) $S_{нечет} + S_{чет} = 21$
2) $S_{нечет} - S_{чет} = 11k$

Сложим эти два уравнения:
$(S_{нечет} + S_{чет}) + (S_{нечет} - S_{чет}) = 21 + 11k$
$2S_{нечет} = 21 + 11k$
$S_{нечет} = \frac{21 + 11k}{2}$

Поскольку $S_{нечет}$ является суммой трёх целых чисел (цифр), она сама должна быть целым числом. Следовательно, выражение $21 + 11k$ должно быть чётным. Так как 21 — нечётное число, то для того, чтобы их сумма была чётной, слагаемое $11k$ также должно быть нечётным. Это возможно только если $k$ — нечётное целое число ($k = \pm1, \pm3, \pm5, \dots$).

Теперь определим возможный диапазон значений для $S_{нечет}$. $S_{нечет}$ — это сумма трёх различных цифр из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Минимально возможная сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
Максимально возможная сумма: $4 + 5 + 6 = 15$.
Таким образом, должно выполняться неравенство: $6 \le S_{нечет} \le 15$.

Проверим, какие значения может принимать $S_{нечет}$ при нечётных $k$:
- Если $k=1$: $S_{нечет} = \frac{21 + 11(1)}{2} = \frac{32}{2} = 16$. Это значение не входит в допустимый диапазон $[6, 15]$.
- Если $k=-1$: $S_{нечет} = \frac{21 + 11(-1)}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Это значение также не входит в допустимый диапазон $[6, 15]$.
- Если $k=3$: $S_{нечет} = \frac{21 + 11(3)}{2} = \frac{54}{2} = 27$. Это значение ещё дальше от допустимого диапазона.
- Если $k=-3$: $S_{нечет} = \frac{21 + 11(-3)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$. Это значение также не подходит.

При других нечётных значениях $k$ (по модулю больших 1) результат для $S_{нечет}$ будет ещё дальше от границ допустимого интервала $[6, 15]$.
Мы показали, что не существует такого целого $k$, при котором значение $S_{нечет}$ находилось бы в требуемом диапазоне. Это означает, что невозможно разбить заданные шесть цифр на две группы по три так, чтобы разность их сумм делилась на 11.

Ответ: нельзя.