Номер 29.32, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.32, страница 240.

Условие.

29.32. Упростите выражение:

$\frac{1}{x(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+8)} + \frac{1}{(x+8)(x+12)} + \frac{1}{(x+12)(x+16)}$

Решение.

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом разложения дробей на простейшие, который в данном случае приведет к так называемой телескопической сумме.

Каждый член суммы имеет вид $\frac{1}{A \cdot B}$. Такую дробь можно представить в виде разности двух дробей по формуле:

$\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$

Заметим, что для каждого слагаемого в нашем выражении разность множителей в знаменателе одинакова и равна 4:
$(x+4) - x = 4$
$(x+8) - (x+4) = 4$
$(x+12) - (x+8) = 4$
$(x+16) - (x+12) = 4$

Применим эту формулу к каждому слагаемому в исходной сумме, вынося за скобки общий множитель $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{x(x+4)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}\right)$

$\frac{1}{(x+4)(x+8)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+8}\right)$

$\frac{1}{(x+8)(x+12)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+12}\right)$

$\frac{1}{(x+12)(x+16)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+12} - \frac{1}{x+16}\right)$

Теперь сложим все эти выражения. Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки для всей суммы:

$\frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}\right) + \left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+8}\right) + \left(\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+12}\right) + \left(\frac{1}{x+12} - \frac{1}{x+16}\right)\right]$

Раскрыв внутренние скобки, мы видим, что все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{4}\left[\frac{1}{x} - \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+8} + \frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+12} + \frac{1}{x+12} - \frac{1}{x+16}\right]$

После сокращения в скобках остаются только первое и последнее слагаемые:

$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+16}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x(x+16)$:

$\frac{1}{4}\left(\frac{x+16}{x(x+16)} - \frac{x}{x(x+16)}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{x+16-x}{x(x+16)}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{x(x+16)}$

Сократим числовой коэффициент:

$\frac{16}{4x(x+16)} = \frac{4}{x(x+16)}$

Ответ: $\frac{4}{x(x+16)}$