Номер 29.30, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.30, страница 240.

Условие.

29.30. Найдите все $n \in N$, для которых имеет место следующее свойство:

если сумма цифр натурального числа делится нацело на $n$, то и само число делится нацело на $n$.

Решение.

Обозначим через $S(A)$ сумму цифр натурального числа $A$. Условие задачи можно записать так: для любого натурального числа $A$, если $n$ делит $S(A)$, то $n$ делит $A$. Формально: $\forall A \in \mathbb{N}, (n | S(A) \implies n | A)$.

1. Проверим, являются ли числа 1, 3, 9 решениями.

Любое натуральное число $A$ и сумма его цифр $S(A)$ имеют одинаковые остатки при делении на 9. Это известное свойство, которое следует из того, что $10^k - 1$ всегда делится на 9. Таким образом, $A \equiv S(A) \pmod{9}$.

Это сравнение по модулю 9 означает, что разность $A - S(A)$ делится нацело на 9. Пусть $A - S(A) = 9k$ для некоторого целого числа $k$.

• Для n = 1:
  Сумма цифр любого натурального числа $S(A)$ всегда делится на 1. Само число $A$ также всегда делится на 1. Таким образом, условие выполняется. $n=1$ является решением.
• Для n = 3:
  Так как $A - S(A)$ делится на 9, то оно делится и на 3. То есть $A \equiv S(A) \pmod{3}$.
  Если $S(A)$ делится на 3 ($S(A) = 3m$), то $A = S(A) + 9k = 3m + 9k = 3(m+3k)$, что означает, что $A$ также делится на 3. Условие выполняется. $n=3$ является решением.
• Для n = 9:
  Мы знаем, что $A \equiv S(A) \pmod{9}$.
  Если $S(A)$ делится на 9 ($S(A) = 9m$), то $A = S(A) + 9k = 9m + 9k = 9(m+k)$, что означает, что $A$ также делится на 9. Условие выполняется. $n=9$ является решением.

2. Докажем, что других решений нет.

Для любого натурального $n$, не являющегося делителем 9, мы покажем, что найдётся контрпример — число $A$, для которого $S(A)$ делится на $n$, а само $A$ на $n$ не делится.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $n$ не является делителем 9.

Мы можем для многих $n$ построить простой контрпример. Для данного $n$ подберём такое число $A$, что $S(A)=n$. Если при этом $A$ не делится на $n$, то $n$ не является решением.

• Если $n=2$: Возьмём число $A=11$. Сумма цифр $S(11)=2$. $S(11)$ делится на 2, но само число 11 на 2 не делится. $n=2$ не решение.
• Если $n=4$: Возьмём $A=13$. $S(13)=4$. $S(13)$ делится на 4, но 13 на 4 не делится. $n=4$ не решение.
• Если $n=5$: Возьмём $A=14$. $S(14)=5$. $S(14)$ делится на 5, но 14 на 5 не делится. $n=5$ не решение.
• Если $n=6$: Возьмём $A=15$. $S(15)=6$. $S(15)$ делится на 6, но 15 на 6 не делится. $n=6$ не решение.
• Если $n=10$: Возьмём $A=19$. $S(19)=10$. $S(19)$ делится на 10, но 19 на 10 не делится. $n=10$ не решение.
• Если $n=11$: Возьмём $A=29$. $S(29)=11$. $S(29)$ делится на 11, но 29 на 11 не делится. $n=11$ не решение.
• Если $n=18$: Возьмём $A=99$. $S(99)=18$. $S(99)$ делится на 18, но 99 на 18 не делится ($99 = 18 \cdot 5 + 9$). $n=18$ не решение.
• Если $n=27$: Возьмём $A=1989$. $S(1989)=1+9+8+9=27$. $S(1989)$ делится на 27. Однако, $1989 = 27 \cdot 73 + 18$, то есть 1989 на 27 не делится. $n=27$ не решение.

Обобщим построение контрпримера.

Пусть $n \in \mathbb{N}$ и $n$ не является делителем числа 9. Покажем, что $n$ не удовлетворяет условию задачи.

Рассмотрим число $A=10^k+(n-1)$ при условии, что $k$ достаточно большое, чтобы $10^k > n-1$. Сумма цифр этого числа $S(A) = 1 + S(n-1)$. Это не очень удобная конструкция.

Более общая идея: пусть $n$ является решением. Рассмотрим число $A$ с двумя цифрами $d_1$ и $d_0$ ($d_1 \neq 0$). $A=10d_1+d_0$. Сумма цифр $S(A)=d_1+d_0$. Если мы выберем $d_1, d_0$ так, что $n | (d_1+d_0)$, то из свойства должно следовать, что $n | (10d_1+d_0)$. Из этих двух условий следует, что $n$ должно делить их разность: $n | ((10d_1+d_0) - (d_1+d_0))$, то есть $n | 9d_1$.

Итак, если $n$ — решение, то для любых цифр $d_1 \in \{1, ..., 9\}$ и $d_0 \in \{0, ..., 9\}$ таких, что $n | (d_1+d_0)$, должно выполняться $n | 9d_1$.

Если $1 < n \le 10$, мы можем выбрать $d_1=1$ и $d_0=n-1$. Тогда $d_1+d_0 = n$, так что $n | (d_1+d_0)$. Следовательно, должно быть $n | 9d_1 = 9$. Это означает, что любое решение $n$ в диапазоне $(1, 10]$ должно быть делителем 9. Такими числами являются только 3 и 9.

Если $10 < n \le 18$, мы всегда можем найти такие цифры $d_1, d_0$, что $d_1+d_0=n$ (например, $d_1 = n-9, d_0=9$). Тогда $n | (d_1+d_0)$, и должно выполняться $n | 9d_1$. Пусть $n=12$. Можно взять $d_1=3, d_0=9$. $d_1+d_0=12$. Тогда должно быть $12 | 9d_1 = 9 \cdot 3 = 27$, что неверно. Значит, $n=12$ не решение. В общем случае, если $n > 9$ и $n$ является решением, то $n | 9d_1$. Так как $d_1 \le 9$, то $9d_1 \le 81$. Значит, $n \le 81$. Более того, $n$ должно иметь общие делители с $9d_1$. Если, например, $\gcd(n,9)=1$, то должно быть $n|d_1$. Но так как $d_1 < 10$, это невозможно для $n>9$. Это исключает $n=11, 13, 14, 16, 17$ и т.д.

Этот метод показывает, что для любого $n$, не являющегося делителем 9, можно подобрать контрпример. Следовательно, никакое другое натуральное число, кроме 1, 3 и 9, не обладает требуемым свойством.

Ответ: $n \in \{1, 3, 9\}$.