Номер 29.25, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.25, страница 240.

Условие.

29.25. Решите уравнение:

1) $n + S(n) = 1001$;

2) $n + S(n) + S(S(n)) = 2000$.

Решение.

1) $n + S(n) = 1001$

Здесь $S(n)$ обозначает сумму цифр натурального числа $n$.

Из уравнения $n + S(n) = 1001$ следует, что $n < 1001$, так как $S(n)$ — положительное число. Поскольку $n$ должно быть близко к 1001, $n$ может быть трехзначным или четырехзначным числом.

Максимальная сумма цифр для трехзначного числа — это $S(999) = 9+9+9=27$. Тогда наименьшее возможное значение для $n$ можно оценить как $n = 1001 - S(n) \ge 1001 - 27 = 974$.

Воспользуемся свойством делимости на 9: любое натуральное число $n$ сравнимо с суммой своих цифр $S(n)$ по модулю 9. То есть, $n \equiv S(n) \pmod{9}$.

Рассмотрим данное уравнение по модулю 9:

$n + S(n) \equiv 1001 \pmod{9}$

Заменяя $n$ на $S(n)$ в сравнении, получаем:

$S(n) + S(n) \equiv 1001 \pmod{9}$

$2S(n) \equiv 1001 \pmod{9}$

Найдем остаток от деления 1001 на 9: $1+0+0+1=2$. Значит, $1001 \equiv 2 \pmod{9}$.

$2S(n) \equiv 2 \pmod{9}$

Так как 2 и 9 взаимно просты, мы можем разделить обе части сравнения на 2:

$S(n) \equiv 1 \pmod{9}$

Это означает, что сумма цифр $S(n)$ может быть равна 1, 10, 19, 28 и т.д. Проверим эти случаи.

• Если $S(n) = 1$, то из исходного уравнения $n = 1001 - 1 = 1000$. Проверяем: $S(1000) = 1$. Условие выполнено, следовательно, $n=1000$ является решением.

• Если $S(n) = 10$, то $n = 1001 - 10 = 991$. Проверяем: $S(991) = 9+9+1 = 19$. Так как $19 \ne 10$, это не является решением.

• Если $S(n) = 19$, то $n = 1001 - 19 = 982$. Проверяем: $S(982) = 9+8+2 = 19$. Условие выполнено, следовательно, $n=982$ является решением.

• Если $S(n) = 28$, то $n = 1001 - 28 = 973$. Проверяем: $S(973) = 9+7+3 = 19$. Так как $19 \ne 28$, это не является решением.

Максимальная сумма цифр для числа, меньшего 1001, это $S(999)=27$. Поэтому рассматривать значения $S(n) \ge 28$ не нужно.

Ответ: 982, 1000.

2) $n + S(n) + S(S(n)) = 2000$

Из уравнения следует, что $n < 2000$.

Оценим максимальное значение для $S(n)$ и $S(S(n))$. Поскольку $n < 2000$, наибольшая возможная сумма цифр $S(n)$ будет у числа 1999: $S(1999) = 1+9+9+9=28$. Таким образом, $S(n) \le 28$.

Для нахождения максимального значения $S(S(n))$, нужно найти число с наибольшей суммой цифр в диапазоне от 1 до 28. Таким числом является 19, и $S(19) = 1+9=10$. Следовательно, $S(S(n)) \le 10$.

Применим свойство сравнения по модулю 9. Мы знаем, что $n \equiv S(n) \pmod{9}$ и $S(n) \equiv S(S(n)) \pmod{9}$. Отсюда следует, что все три числа $n$, $S(n)$ и $S(S(n))$ имеют одинаковые остатки при делении на 9.

Рассмотрим исходное уравнение по модулю 9:

$n + S(n) + S(S(n)) \equiv 2000 \pmod{9}$

Используя $n \equiv S(n) \equiv S(S(n)) \pmod{9}$, мы можем записать:

$n + n + n \equiv 2000 \pmod{9}$

$3n \equiv 2000 \pmod{9}$

Сумма цифр числа 2000 равна 2, поэтому $2000 \equiv 2 \pmod{9}$. Сравнение принимает вид:

$3n \equiv 2 \pmod{9}$

Это сравнение означает, что существует такое целое число $k$, что $3n = 9k + 2$.

Левая часть этого равенства, $3n$, делится на 3. Правая часть, $9k+2 = 3(3k)+2$, при делении на 3 дает остаток 2, то есть на 3 не делится. Мы получили противоречие.

Следовательно, сравнение $3n \equiv 2 \pmod{9}$ не имеет решений в целых числах. Это означает, что и исходное уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: решений нет.