Номер 29.31, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.31, страница 240.

Условие.

29.31. Используя диаграммы Эйлера, проиллюстрируйте свойства операций над множествами:

1) $ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $;

2) $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $.

Решение.

Для иллюстрации свойств операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера, представляющими множества A, B и C в виде трех частично пересекающихся кругов.

1) $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

Это свойство называется ассоциативностью (сочетательным законом) операции объединения. Оно гласит, что порядок объединения трех множеств не влияет на результат. Проиллюстрируем это.

Левая часть: $(A \cup B) \cup C$

1. Сначала выполним операцию в скобках — найдем объединение множеств $A$ и $B$, то есть $A \cup B$. На диаграмме это область, которая включает в себя оба множества $A$ и $B$.

Рис. 1 — Объединение $A \cup B$

2. Теперь объединим полученное множество $A \cup B$ с множеством $C$. Результатом операции $(A \cup B) \cup C$ будет область, охватывающая все три множества.

Рис. 2 — Результат для левой части: $(A \cup B) \cup C$

Правая часть: $A \cup (B \cup C)$

1. Сначала найдем объединение множеств $B$ и $C$, то есть $B \cup C$.

Рис. 3 — Объединение $B \cup C$

2. Теперь объединим множество $A$ с полученным множеством $B \cup C$. Результатом операции $A \cup (B \cup C)$ будет та же область, охватывающая все три множества.

Рис. 4 — Результат для правой части: $A \cup (B \cup C)$

Сравнивая итоговые диаграммы (Рис. 2 и Рис. 4), мы видим, что закрашенные области полностью совпадают. Это наглядно демонстрирует справедливость равенства $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$.

Ответ: Диаграммы Эйлера показывают, что результат объединения трех множеств не зависит от порядка выполнения операций: в обоих случаях итоговое множество включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств A, B или C.

---

2) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Это свойство называется дистрибутивностью (распределительным законом) пересечения относительно объединения. Проиллюстрируем его справедливость.

Левая часть: $A \cap (B \cup C)$

1. Сначала найдем объединение $B \cup C$. Эта область закрашена на диаграмме ниже.

Рис. 5 — Объединение $B \cup C$

2. Теперь найдем пересечение множества $A$ с полученной областью $B \cup C$. Результатом будет та часть множества $A$, которая также принадлежит $B$ или $C$.

Рис. 6 — Результат для левой части: $A \cap (B \cup C)$

Правая часть: $(A \cap B) \cup (A \cap C)$

1. Сначала найдем пересечение $A \cap B$ (общая часть $A$ и $B$) и пересечение $A \cap C$ (общая часть $A$ и $C$).

Рис. 7 — Пересечение $A \cap B$

Рис. 8 — Пересечение $A \cap C$

2. Теперь объединим эти две области. Результатом будет множество $(A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Рис. 9 — Результат для правой части: $(A \cap B) \cup (A \cap C)$

Сравнивая итоговые диаграммы для левой (Рис. 6) и правой (Рис. 9) частей, мы видим, что они идентичны. Это иллюстрирует справедливость дистрибутивного закона.

Ответ: Диаграммы Эйлера показывают, что пересечение множества $A$ с объединением множеств $B$ и $C$ дает тот же результат, что и объединение пересечения $A$ с $B$ и пересечения $A$ с $C$. В обоих случаях итоговое множество состоит из элементов, которые принадлежат $A$ и одновременно хотя бы одному из множеств $B$ или $C$.