Номер 30.5, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.5, страница 247.

Условие.

30.5. Найдите все натуральные значения $n$, при которых числа $n$ и $n+3$ являются простыми.

Решение.

По условию задачи, нам нужно найти все натуральные значения $n$, при которых оба числа, $n$ и $n+3$, являются простыми.

Рассмотрим четность этих двух чисел. Их разность равна $(n+3) - n = 3$. Поскольку разность двух чисел нечетна, это означает, что одно из чисел должно быть четным, а другое — нечетным.

Единственное четное простое число — это 2. Следовательно, одно из наших чисел ($n$ или $n+3$) обязано быть равным 2.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Пусть $n=2$. В этом случае второе число будет $n+3 = 2+3=5$. Оба числа, 2 и 5, являются простыми. Это означает, что $n=2$ является решением.

2. Пусть $n+3=2$. В этом случае $n = 2-3 = -1$. Однако, по условию $n$ должно быть натуральным числом, а -1 таковым не является. Следовательно, этот случай не дает решения.

Таким образом, существует только одно натуральное значение $n$, удовлетворяющее условию задачи.

Ответ: 2.