Номер 30.7, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.7, страница 247.

Условие.

30.7. Известно, что числа $m$ и $n$ таковы, что $mn : p$. Верно ли утверждение, что $m : p$ или $n : p$, если:

1) $p = 29$;

2) $p = 39$?

Решение.

1) $p = 29$

Утверждение «если произведение $mn$ делится на $p$, то $m$ делится на $p$ или $n$ делится на $p$» является верным тогда и только тогда, когда число $p$ простое. Это фундаментальное свойство простых чисел, известное как лемма Евклида.

Проверим, является ли число 29 простым. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Для проверки достаточно попробовать разделить 29 на простые числа, не превосходящие $\sqrt{29} \approx 5.38$. Такими числами являются 2, 3 и 5.

- 29 не делится на 2, так как 29 — нечетное число.
- 29 не делится на 3, так как сумма его цифр $2+9=11$ не делится на 3.
- 29 не делится на 5, так как его последняя цифра не 0 и не 5.

Поскольку 29 не имеет других простых делителей, кроме самого себя, оно является простым числом. Следовательно, для $p=29$ утверждение верно.

Ответ: да, верно.

2) $p = 39$

Теперь рассмотрим число $p=39$. Проверим, является ли оно простым.

Число 39 не является простым, так как оно является составным. Его можно разложить на множители: $39 = 3 \times 13$.

Для составных чисел данное утверждение не всегда верно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример.

Возьмем в качестве множителей числа $m=3$ и $n=13$.

Их произведение $mn = 3 \times 13 = 39$. Это произведение делится на $p=39$ ($39 \vdots 39$).

Однако ни один из сомножителей в отдельности не делится на 39:
- $m=3$ не делится на 39.
- $n=13$ не делится на 39.

Таким образом, мы нашли числа $m$ и $n$, для которых условие ($mn$ делится на 39) выполняется, а заключение ($m$ делится на 39 или $n$ делится на 39) — нет. Следовательно, для $p=39$ утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.