Номер 30.10, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.10, страница 247.

Условие.

30.10. Найдите все натуральные $n$, при которых значение выражения $n^2 + n$ является простым числом.

Решение.

Нам необходимо найти все натуральные значения $n$, при которых выражение $n^2 + n$ является простым числом.

Для начала преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $n^2 + n = n(n + 1)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению таких натуральных $n$, при которых произведение двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n + 1$ является простым числом.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Чтобы произведение $n(n + 1)$ было простым числом, один из его множителей должен быть равен 1, а другой — самому этому простому числу.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Множители $n$ и $n+1$ являются натуральными числами, причем $n < n + 1$. Следовательно, чтобы один из множителей был равен 1, необходимо, чтобы меньший из них, то есть $n$, был равен 1.

Рассмотрим этот случай: Если $n = 1$, то значение выражения равно $1 \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2$. Число 2 является простым, так что $n=1$ подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда $n > 1$. Если $n \ge 2$, то оба множителя $n$ и $n+1$ являются целыми числами, большими 1. Их произведение $n(n+1)$ будет иметь как минимум четыре различных делителя: 1, $n$, $n+1$ и само число $n(n+1)$. Такое число по определению является составным, а не простым.

Следовательно, единственное натуральное число $n$, при котором значение выражения $n^2 + n$ является простым, — это $n = 1$.

Ответ: 1.