Номер 30.14, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.14, страница 248.

Условие.

30.14. Докажите, что если $p$ — простое число и $p > 3$, то $ (p^2 - 1) : 24 $.

Решение.

Для того чтобы доказать, что выражение $(p^2 - 1)$ делится на 24, необходимо показать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Разложим выражение $(p^2 - 1)$ на множители, используя формулу разности квадратов: $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.

Доказательство делимости на 3.
Числа $(p - 1)$, $p$ и $(p + 1)$ являются тремя последовательными целыми числами. По свойству последовательных чисел, одно из них обязательно делится на 3. По условию, $p$ — простое число и $p > 3$. Это означает, что $p$ не может делиться на 3 (так как единственное простое число, делящееся на 3, — это само число 3). Следовательно, на 3 должно делиться одно из соседних с $p$ чисел: либо $(p - 1)$, либо $(p + 1)$. Таким образом, их произведение $(p - 1)(p + 1)$, равное $(p^2 - 1)$, делится на 3.

Доказательство делимости на 8.
Поскольку $p$ — простое число и $p > 3$, оно является нечетным (так как единственное четное простое число — это 2). Если $p$ — нечетное число, то $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это два последовательных четных числа. Среди двух последовательных четных чисел одно обязательно делится не только на 2, но и на 4. Таким образом, их произведение будет делиться на $2 \times 4 = 8$. Приведем более строгое доказательство. Так как $(p-1)$ и $(p+1)$ — последовательные четные числа, их можно представить как $2k$ и $2k+2$ для некоторого целого числа $k$. Их произведение равно: $(p-1)(p+1) = 2k \cdot (2k+2) = 4k(k+1)$. Выражение $k(k+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел, поэтому оно всегда четно (делится на 2). Следовательно, всё выражение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$. Таким образом, $(p^2 - 1)$ делится на 8.

Заключение.
Мы доказали, что $(p^2 - 1)$ делится и на 3, и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты, то $(p^2 - 1)$ должно делиться на их произведение $3 \times 8 = 24$.

Ответ: что и требовалось доказать.