Номер 30.12, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.12, страница 248.

Условие.

30.12. Найдите все натуральные $n$, при которых является простым числом значение выражения:

1) $n^3 - 1$;

2) $4n^2 + 5n - 21$;

3) $3^n - 1$.

Решение.

1)

Рассмотрим выражение $n^3 - 1$. Чтобы значение этого выражения было простым числом, необходимо найти все натуральные $n$, удовлетворяющие этому условию.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Применив ее к нашему выражению, получим:

$n^3 - 1 = (n-1)(n^2+n+1)$

Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Следовательно, для того чтобы произведение $(n-1)(n^2+n+1)$ было простым числом, один из сомножителей должен быть равен 1, а другой — простому числу.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $n-1 = 1$.

Из этого уравнения следует, что $n=2$.

Подставим $n=2$ во второй сомножитель:

$n^2+n+1 = 2^2+2+1 = 4+2+1 = 7$.

Число 7 является простым. Таким образом, при $n=2$ значение выражения равно $1 \cdot 7 = 7$, что является простым числом. Следовательно, $n=2$ — это решение.

Случай 2: $n^2+n+1 = 1$.

$n^2+n = 0 \Rightarrow n(n+1)=0$.

Корнями этого уравнения являются $n=0$ и $n=-1$. Ни один из них не является натуральным числом, поэтому этот случай не дает решений.

Также заметим, что при $n=1$ выражение равно $1^3-1=0$, что не является простым числом. При $n > 2$ оба сомножителя, $n-1$ и $n^2+n+1$, будут больше 1. Например, при $n=3$, $n-1=2$ и $n^2+n+1=13$. Произведение $2 \cdot 13 = 26$ является составным числом. Следовательно, для любого $n > 2$ значение выражения будет составным числом.

Единственное натуральное значение $n$, при котором выражение является простым, — это $n=2$.

Ответ: $n=2$.

2)

Рассмотрим выражение $4n^2 + 5n - 21$.

Чтобы найти значения $n$, при которых это выражение является простым числом, разложим его на множители. Для этого решим квадратное уравнение $4n^2 + 5n - 21 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-5 - 19}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$.

$n_2 = \frac{-5 + 19}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$.

Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители:

$4n^2 + 5n - 21 = 4(n - (-3))(n - \frac{7}{4}) = (n+3)(4n-7)$.

Чтобы произведение $(n+3)(4n-7)$ было простым числом, один из множителей должен быть равен 1, а другой — простому числу (или один равен -1, а другой -p, где p - простое).

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то множитель $n+3 \ge 1+3=4$. Этот множитель всегда больше 1.

Следовательно, для того чтобы произведение было простым, необходимо, чтобы второй множитель $4n-7$ был равен 1, а множитель $n+3$ был равен простому числу.

Приравняем $4n-7$ к 1:

$4n-7=1 \Rightarrow 4n=8 \Rightarrow n=2$.

Проверим это значение. Если $n=2$, то $n$ является натуральным числом.

Первый множитель: $n+3 = 2+3=5$.

Второй множитель: $4n-7 = 4(2)-7 = 1$.

Значение выражения: $(2+3)(4(2)-7) = 5 \cdot 1 = 5$.

Число 5 является простым, значит, $n=2$ — это решение.

Рассмотрим другие натуральные $n$.

При $n=1$, $4n-7 = -3$, а $n+3=4$. Произведение равно -12, что не является простым.

При $n > 2$, оба множителя $n+3$ и $4n-7$ будут больше 1. Например, при $n=3$, $n+3=6$ и $4n-7=5$. Произведение $6 \cdot 5 = 30$ является составным числом. Значит, при $n > 2$ выражение всегда будет составным.

Единственное натуральное значение $n$, при котором выражение является простым, — это $n=2$.

Ответ: $n=2$.

3)

Рассмотрим выражение $3^n - 1$.

Проверим несколько первых натуральных значений $n$.

При $n=1$: $3^1 - 1 = 2$. Число 2 является простым. Значит, $n=1$ — решение.

При $n=2$: $3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Число 8 не является простым.

При $n=3$: $3^3 - 1 = 27 - 1 = 26$. Число 26 не является простым.

Заметим, что при любом натуральном $n$, число $3^n$ является нечетным. Разность нечетного числа и 1 всегда является четным числом. То есть, $3^n - 1$ всегда четное при $n \ge 1$.

Единственное четное простое число — это 2.

Следовательно, чтобы выражение $3^n - 1$ было простым, оно должно быть равно 2.

Решим уравнение:

$3^n - 1 = 2$

$3^n = 3$

$n=1$

Таким образом, только при $n=1$ значение выражения является простым числом.

Другой способ рассуждения: можно разложить выражение на множители: $3^n-1 = (3-1)(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1) = 2(3^{n-1} + ... + 1)$.

Чтобы это произведение было простым, один из множителей должен быть равен 1, а другой - простому числу. Так как первый множитель равен 2, то для того, чтобы произведение было простым, оно должно быть равно самому числу 2. Это возможно только если второй множитель равен 1.

$3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1 = 1$.

Эта сумма состоит из $n$ положительных слагаемых. Если $n=1$, то сумма равна 1. Если $n>1$, то сумма очевидно больше 1. Следовательно, единственное натуральное решение — $n=1$.

Ответ: $n=1$.