Номер 30.15, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.15, страница 248.

Условие.

30.15. Простые числа $p$ и $q$ таковы, что $p > 3$, $q > 3$. Докажите, что $(p^2 - q^2) : 24$.

Решение.

Чтобы доказать, что выражение $p^2 - q^2$ делится на 24, необходимо показать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку числа 3 и 8 взаимно простые и их произведение равно 24.

Сначала докажем делимость на 3. По условию, $p$ и $q$ — простые числа, большие 3. Следовательно, ни $p$, ни $q$ не делятся на 3. Любое целое число, не кратное 3, можно представить в виде $3k \pm 1$ для некоторого целого $k$. Возведем такое число в квадрат: $(3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1$. Отсюда видно, что квадрат любого простого числа, большего 3, при делении на 3 дает остаток 1. Таким образом, $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $q^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Тогда их разность: $p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$. Это означает, что $p^2 - q^2$ делится на 3.

Теперь докажем делимость на 8. Поскольку $p$ и $q$ — простые числа, большие 3, они оба являются нечетными. Любое нечетное число можно представить в виде $2k + 1$ для некоторого целого $k$. Рассмотрим квадрат нечетного числа: $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1$. Произведение двух последовательных целых чисел $k(k+1)$ всегда является четным, то есть $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого $m$. Подставив это в выражение для квадрата, получим: $(2k + 1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$. Это показывает, что квадрат любого нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1. Следовательно, $p^2 \equiv 1 \pmod{8}$ и $q^2 \equiv 1 \pmod{8}$. Тогда их разность: $p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$. Это означает, что $p^2 - q^2$ делится на 8.

Поскольку $p^2 - q^2$ делится и на 3, и на 8, а числа 3 и 8 взаимно простые, то $p^2 - q^2$ делится на их произведение $3 \times 8 = 24$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.