Номер 30.20, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.20, страница 248.

Условие.

30.20. Целые числа $a$ и $b$ таковы, что значение выражения $a^2 + 9ab + b^2$ кратно 11. Докажите, что значение выражения $a - b$ кратно 11.

Решение.

По условию задачи, $a$ и $b$ — целые числа, и значение выражения $a^2 + 9ab + b^2$ кратно 11. Это означает, что остаток от деления данного выражения на 11 равен нулю. Используя аппарат сравнений по модулю, это можно записать так:

$a^2 + 9ab + b^2 \equiv 0 \pmod{11}$

Мы хотим доказать, что $a - b$ кратно 11, то есть $a - b \equiv 0 \pmod{11}$.

Преобразуем исходное выражение. Заметим, что в арифметике по модулю 11 число 9 эквивалентно числу -2, поскольку $9 - (-2) = 11$, что, очевидно, делится на 11. Таким образом, мы можем записать: $9 \equiv -2 \pmod{11}$.

Заменим коэффициент 9 на -2 в нашем сравнении:

$a^2 - 2ab + b^2 \equiv 0 \pmod{11}$

Левая часть этого сравнения представляет собой формулу полного квадрата разности:

$(a - b)^2 \equiv 0 \pmod{11}$

Это сравнение означает, что $(a - b)^2$ делится на 11. Число 11 является простым. Существует свойство: если произведение двух целых чисел делится на простое число $p$, то хотя бы один из сомножителей должен делиться на $p$. В нашем случае произведение это $(a - b) \cdot (a - b)$.

Поскольку $(a - b)^2$ делится на простое число 11, то и само число $(a - b)$ должно делиться на 11.

Следовательно, $a - b$ кратно 11, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из того, что $a^2 + 9ab + b^2$ кратно 11, следует, что $a - b$ кратно 11.