Номер 30.26, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.26, страница 248.

Условие.

30.26. Докажите, что число 999 999 973 — составное.

Решение.

30.26.

Чтобы доказать, что число является составным, необходимо показать, что оно имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Для этого достаточно представить данное число в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1.

Рассмотрим число 999 999 973. Заметим, что это число близко к 1 000 000 000. Представим его как разность:

$999 \, 999 \, 973 = 1 \, 000 \, 000 \, 000 - 27$

Теперь запишем каждое из чисел в этой разности в виде куба:

$1 \, 000 \, 000 \, 000 = 10^9 = (10^3)^3 = 1000^3$

$27 = 3^3$

Таким образом, исходное число можно представить в виде разности кубов:

$999 \, 999 \, 973 = 1000^3 - 3^3$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 1000$ и $b = 3$. Подставим эти значения в формулу:

$1000^3 - 3^3 = (1000 - 3)(1000^2 + 1000 \cdot 3 + 3^2)$

Вычислим значения каждого множителя:

Первый множитель: $1000 - 3 = 997$.

Второй множитель: $1000^2 + 1000 \cdot 3 + 3^2 = 1 \, 000 \, 000 + 3000 + 9 = 1 \, 003 \, 009$.

Следовательно, мы разложили исходное число на два множителя:

$999 \, 999 \, 973 = 997 \cdot 1 \, 003 \, 009$

Поскольку оба множителя (997 и 1 003 009) являются целыми числами и каждый из них больше 1, то исходное число 999 999 973 является составным.

Ответ: число 999 999 973 является составным, так как его можно представить в виде произведения двух целых чисел, больших единицы: $997 \cdot 1 \, 003 \, 009$.