Номер 30.28, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.28, страница 248.

Условие.

30.28. Найдите все натуральные $m$, при которых значение выражения $m^4 + m^2 + 1$ является простым числом.

Решение.

Для того чтобы значение выражения $m^4 + m^2 + 1$ было простым числом, необходимо, чтобы это выражение нельзя было разложить на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы. Попробуем разложить данное выражение на множители.

Используем метод выделения полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $m^2$:

$m^4 + m^2 + 1 = (m^4 + 2m^2 + 1) - m^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(m^2 + 1)^2$. Тогда получаем:

$(m^2 + 1)^2 - m^2$

Это разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которая раскладывается на множители по формуле $(a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = m^2 + 1$ и $b = m$.

$(m^2 + 1 - m)(m^2 + 1 + m)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя:

$m^4 + m^2 + 1 = (m^2 - m + 1)(m^2 + m + 1)$

По условию, $m$ — натуральное число, то есть $m \ge 1$. При таких значениях $m$ оба множителя $(m^2 - m + 1)$ и $(m^2 + m + 1)$ являются целыми числами.

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Чтобы произведение двух множителей было простым числом, один из них должен быть равен 1, а другой — самому этому простому числу.

Сравним множители. Поскольку $m \ge 1$, то $2m > 0$, и, следовательно:

$(m^2 + m + 1) - (m^2 - m + 1) = 2m \ge 2$

Это означает, что $m^2 + m + 1 > m^2 - m + 1$.

Также заметим, что при $m=1$, множитель $m^2 - m + 1 = 1-1+1 = 1$. При $m > 1$ (то есть $m \ge 2$), $m^2 - m = m(m-1) \ge 2(1) = 2$, поэтому $m^2 - m + 1 \ge 3$. Значит, меньший множитель $m^2 - m + 1$ всегда является натуральным числом.

Чтобы произведение было простым, меньший множитель должен быть равен 1:

$m^2 - m + 1 = 1$

Решим это уравнение:

$m^2 - m = 0$

$m(m-1) = 0$

Корни этого уравнения: $m=0$ и $m=1$.

Поскольку по условию $m$ — натуральное число, нам подходит только $m=1$.

Проверим это значение. Если $m=1$, то выражение принимает значение:

$1^4 + 1^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

Число 3 является простым. Таким образом, $m=1$ является решением.

Если $m > 1$, то оба множителя $(m^2 - m + 1)$ и $(m^2 + m + 1)$ будут больше 1, и их произведение будет составным числом. Например, при $m=2$, значение выражения равно $(2^2-2+1)(2^2+2+1) = 3 \cdot 7 = 21$, что не является простым числом.

Ответ: $m=1$.