Номер 30.35, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.35, страница 249.

Условие.

30.35. Натуральное число $a$ не делится нацело на 29. Докажите, что одно из чисел $a^{14} - 1$ или $a^{14} + 1$ делится нацело на 29.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся Малой теоремой Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае $p = 29$, что является простым числом. По условию, натуральное число $a$ не делится нацело на 29, то есть $a$ не кратно 29. Следовательно, мы можем применить Малую теорему Ферма:

$a^{29-1} \equiv 1 \pmod{29}$

Упростим это выражение:

$a^{28} \equiv 1 \pmod{29}$

Это означает, что число $a^{28} - 1$ делится на 29. Теперь преобразуем левую часть выражения, используя формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим $a^{28}$ как $(a^{14})^2$. Тогда сравнение можно переписать в виде:

$(a^{14})^2 - 1 \equiv 0 \pmod{29}$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(a^{14} - 1)(a^{14} + 1) \equiv 0 \pmod{29}$

Это сравнение означает, что произведение двух чисел, $(a^{14} - 1)$ и $(a^{14} + 1)$, делится на 29.

Поскольку 29 — простое число, то если произведение двух целых чисел делится на 29, то хотя бы одно из этих чисел должно делиться на 29. Таким образом, либо число $(a^{14} - 1)$ делится на 29, либо число $(a^{14} + 1)$ делится на 29, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.