Номер 30.32, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.32, страница 249.

Условие.

30.32. Докажите, что при любом натуральном $a$ значение выражения $a^{57} - 39a^3$ кратно 19.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $a^{57} - 39a^3$ кратно 19 при любом натуральном $a$, необходимо показать, что остаток от деления этого выражения на 19 равен нулю. Для этого воспользуемся сравнениями по модулю 19.

Запишем задачу в виде сравнения: $a^{57} - 39a^3 \equiv 0 \pmod{19}$

Рассмотрим число 39 по модулю 19. Поскольку $39 = 2 \cdot 19 + 1$, то $39 \equiv 1 \pmod{19}$. Заменим 39 на 1 в исходном выражении: $a^{57} - 39a^3 \equiv a^{57} - 1 \cdot a^3 \equiv a^{57} - a^3 \pmod{19}$

Теперь задача сводится к доказательству того, что $a^{57} - a^3$ кратно 19.

Применим малую теорему Ферма, которая утверждает, что если $p$ — простое число, то для любого натурального числа $a$ выполняется сравнение $a^p \equiv a \pmod{p}$.

Число 19 является простым, поэтому по малой теореме Ферма: $a^{19} \equiv a \pmod{19}$

Теперь преобразуем $a^{57}$. Заметим, что $57 = 19 \cdot 3$. Следовательно: $a^{57} = a^{19 \cdot 3} = (a^{19})^3$

Так как $a^{19} \equiv a \pmod{19}$, то мы можем возвести обе части сравнения в куб: $(a^{19})^3 \equiv a^3 \pmod{19}$ Отсюда получаем, что $a^{57} \equiv a^3 \pmod{19}$.

Подставим это в наше упрощенное выражение: $a^{57} - a^3 \equiv a^3 - a^3 \equiv 0 \pmod{19}$

Таким образом, мы доказали, что $a^{57} - a^3$ делится на 19. Поскольку $a^{57} - 39a^3$ имеет тот же остаток от деления на 19, что и $a^{57} - a^3$, то и исходное выражение кратно 19 при любом натуральном $a$.

Ответ: утверждение доказано.