Номер 30.25, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.25, страница 248.

Условие.

30.25. Докажите, что число $800 \overset{\text{10 нулей}}{\overbrace{\dots}} 027$ — составное.

Решение.

Обозначим данное число, в котором между 8 и 27 находится 10 нулей, как $N$. Это число можно представить в виде $N = 8 \cdot 10^{12} + 27$. Пояснение: после цифры 8 следует 10 нулей и еще 2 цифры числа 27, то есть всего 12 разрядов, на которые нужно "сдвинуть" восьмерку.

Представим слагаемые в виде кубов:$8 \cdot 10^{12} = 2^3 \cdot (10^4)^3 = (2 \cdot 10^4)^3 = 20000^3$$27 = 3^3$Следовательно, исходное число можно записать как сумму кубов: $N = 20000^3 + 3^3$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. В нашем случае $a = 20000$ и $b = 3$.

Подставим значения в формулу и разложим число на множители:$N = (20000 + 3)(20000^2 - 20000 \cdot 3 + 3^2)$$N = 20003 \cdot (400000000 - 60000 + 9)$$N = 20003 \cdot 399940009$

Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Так как число $N$ представлено в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1, оно является составным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Число является составным, так как оно раскладывается на множители $20003$ и $399940009$.