Номер 30.22, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.22, страница 248.

Условие.

30.22. Числа $p$ и $8p^2+1$ — простые. Найдите $p$.

Решение.

По условию, $p$ и $8p^2 + 1$ — простые числа. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Переберём первые несколько простых чисел для $p$:

• Если $p = 2$ (простое число), то $8p^2 + 1 = 8 \cdot 2^2 + 1 = 8 \cdot 4 + 1 = 33$. Число 33 не является простым, так как делится на 3 и 11 ($33 = 3 \cdot 11$). Значит, $p = 2$ не подходит.
• Если $p = 3$ (простое число), то $8p^2 + 1 = 8 \cdot 3^2 + 1 = 8 \cdot 9 + 1 = 72 + 1 = 73$. Число 73 является простым. Значит, $p = 3$ является решением.

Теперь докажем, что других решений нет. Рассмотрим простые числа $p > 3$.

Любое простое число $p$, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Используем сравнение по модулю 3:

1. Если $p$ при делении на 3 дает остаток 1, то $p \equiv 1 \pmod{3}$.
   Тогда $p^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
2. Если $p$ при делении на 3 дает остаток 2, то $p \equiv 2 \pmod{3}$.
   Тогда $p^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

В обоих случаях квадрат простого числа $p > 3$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь рассмотрим выражение $8p^2 + 1$ по модулю 3:

$8p^2 + 1 \equiv (8 \pmod{3}) \cdot (p^2 \pmod{3}) + (1 \pmod{3}) \pmod{3}$

Так как $8 \equiv 2 \pmod{3}$ и мы установили, что $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ для $p > 3$, подставим эти значения:

$8p^2 + 1 \equiv 2 \cdot 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$

Это означает, что для любого простого числа $p > 3$, число $8p^2 + 1$ делится на 3 без остатка. Поскольку при $p > 3$ значение $8p^2 + 1$ будет очевидно больше 3 (например, для $p=5$, $8 \cdot 5^2 + 1 = 201$), то оно будет составным числом. Таким образом, ни одно простое число $p > 3$ не может быть решением.

Единственное значение, которое удовлетворяет условию, — это $p = 3$.

Ответ: 3