Номер 30.19, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.19, страница 248.

Условие.

30.19. Числа $m$ и $n$ таковы, что $37m = 55n$. Докажите, что число $m - n$ является составным.

Решение.

По условию дано равенство $37m = 55n$. Числа 37 и 55 являются взаимно простыми, поскольку 37 — простое число, а разложение числа 55 на простые множители ($55 = 5 \times 11$) не содержит множителя 37.

Из свойства делимости для взаимно простых чисел следует, что если произведение $ac$ делится на $b$ и числа $a, b$ взаимно просты, то $c$ должно делиться на $b$. Применяя это свойство к данному равенству:

• Из того, что $37m$ делится на 55, следует, что $m$ делится на 55.
• Из того, что $55n$ делится на 37, следует, что $n$ делится на 37.

Таким образом, существует такое целое число $k$, что $m = 55k$ и $n = 37k$.

Теперь найдем разность $m-n$:

$m - n = 55k - 37k = (55 - 37)k = 18k$.

Составное число — это натуральное число, большее 1, которое имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Чтобы число $m-n$ было составным, оно должно быть натуральным.

Из исходного равенства $37m=55n$ следует, что числа $m$ и $n$ имеют одинаковый знак.

• Если $m=n=0$, то $k=0$ и $m-n=0$. Число 0 не является составным.
• Если $m$ и $n$ — отрицательные числа, то $k$ — отрицательное целое число, и $m-n=18k$ будет отрицательным числом, которое также не является составным.
• Следовательно, для выполнения условия задачи $m$ и $n$ должны быть натуральными числами. В этом случае $k$ также является натуральным числом, то есть $k \ge 1$.

При $k \ge 1$ число $m-n = 18k$ является натуральным и $m-n \ge 18$. Это число больше 1. Число $18k$ можно представить в виде произведения, например, $2 \times (9k)$. Так как $k \ge 1$, то $9k \ge 9$, и оба множителя (2 и $9k$) являются натуральными числами, большими 1. Это означает, что число $m-n$ имеет делители, отличные от 1 и самого себя (например, 2, 3, 9, 18).

Таким образом, число $m-n$ является составным.

Ответ: Из условия $37m = 55n$ и взаимной простоты чисел 37 и 55 следует, что $m = 55k$ и $n = 37k$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда их разность $m-n = 18k$. Так как $k \ge 1$, число $18k$ всегда больше 1 и имеет делители, отличные от 1 и самого себя (например, 2, 3, 9), следовательно, оно является составным.