Номер 30.17, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.17, страница 248.
№30.17 (с. 248)
Условие. №30.17 (с. 248)
скриншот условия
 
                                30.17. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $2p + 1$ и $4p + 1$ простые.
Решение. №30.17 (с. 248)
Нам нужно найти все простые числа $p$ такие, что числа $2p+1$ и $4p+1$ также являются простыми.
Рассмотрим возможные остатки простого числа $p$ при делении на 3.
Случай 1: $p=3$
Если $p=3$, то это простое число. Проверим два других числа:
- $2p+1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Это простое число.
- $4p+1 = 4 \cdot 3 + 1 = 13$. Это простое число.
Таким образом, $p=3$ является решением.
Случай 2: $p$ — простое число, $p>3$
Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2.
Подслучай 2.1: $p$ дает остаток 1 при делении на 3.
Это можно записать как $p \equiv 1 \pmod{3}$. Тогда $p = 3k+1$ для некоторого натурального числа $k$. Рассмотрим число $2p+1$:
$2p+1 = 2(3k+1) + 1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$.
Поскольку $p > 3$, то $k \ge 2$ (так как при $k=1$, $p=4$ — составное число). Следовательно, $2k+1 \ge 5$. Это означает, что число $2p+1$ имеет делитель 3 и при этом $2p+1 > 3$. Значит, $2p+1$ является составным числом.
Подслучай 2.2: $p$ дает остаток 2 при делении на 3.
Это можно записать как $p \equiv 2 \pmod{3}$. Тогда $p = 3k+2$ для некоторого натурального числа $k$. (Отметим, что простое число $p=2$ попадает в этот случай при $k=0$. Для $p=2$ имеем $2p+1=5$ (простое) и $4p+1=9$ (составное), так что $p=2$ не является решением). Рассмотрим $p>3$. Тогда $k \ge 1$. Рассмотрим число $4p+1$:
$4p+1 = 4(3k+2) + 1 = 12k+8+1 = 12k+9 = 3(4k+3)$.
Поскольку $k \ge 1$, то $4k+3 \ge 7$. Это означает, что число $4p+1$ имеет делитель 3 и при этом $4p+1 > 3$. Значит, $4p+1$ является составным числом.
Таким образом, для любого простого $p > 3$ хотя бы одно из чисел $2p+1$ или $4p+1$ является составным.
Единственное простое число, удовлетворяющее условию, — это $p=3$.
Ответ: $p=3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 30.17 расположенного на странице 248 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №30.17 (с. 248), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    