Номер 30.17, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.17, страница 248.

Условие.

30.17. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $2p + 1$ и $4p + 1$ простые.

Решение.

Нам нужно найти все простые числа $p$ такие, что числа $2p+1$ и $4p+1$ также являются простыми.

Рассмотрим возможные остатки простого числа $p$ при делении на 3.

Случай 1: $p=3$

Если $p=3$, то это простое число. Проверим два других числа:

• $2p+1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Это простое число.
• $4p+1 = 4 \cdot 3 + 1 = 13$. Это простое число.

Таким образом, $p=3$ является решением.

Случай 2: $p$ — простое число, $p>3$

Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2.

Подслучай 2.1: $p$ дает остаток 1 при делении на 3.

Это можно записать как $p \equiv 1 \pmod{3}$. Тогда $p = 3k+1$ для некоторого натурального числа $k$. Рассмотрим число $2p+1$:
$2p+1 = 2(3k+1) + 1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$.
Поскольку $p > 3$, то $k \ge 2$ (так как при $k=1$, $p=4$ — составное число). Следовательно, $2k+1 \ge 5$. Это означает, что число $2p+1$ имеет делитель 3 и при этом $2p+1 > 3$. Значит, $2p+1$ является составным числом.

Подслучай 2.2: $p$ дает остаток 2 при делении на 3.

Это можно записать как $p \equiv 2 \pmod{3}$. Тогда $p = 3k+2$ для некоторого натурального числа $k$. (Отметим, что простое число $p=2$ попадает в этот случай при $k=0$. Для $p=2$ имеем $2p+1=5$ (простое) и $4p+1=9$ (составное), так что $p=2$ не является решением). Рассмотрим $p>3$. Тогда $k \ge 1$. Рассмотрим число $4p+1$:
$4p+1 = 4(3k+2) + 1 = 12k+8+1 = 12k+9 = 3(4k+3)$.
Поскольку $k \ge 1$, то $4k+3 \ge 7$. Это означает, что число $4p+1$ имеет делитель 3 и при этом $4p+1 > 3$. Значит, $4p+1$ является составным числом.

Таким образом, для любого простого $p > 3$ хотя бы одно из чисел $2p+1$ или $4p+1$ является составным.

Единственное простое число, удовлетворяющее условию, — это $p=3$.

Ответ: $p=3$.