Номер 30.27, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.27, страница 248.

Условие.

30.27. Найдите все натуральные $n$, при которых значение выражения $n^4 + 4$ является простым числом.

Решение.

Для того чтобы найти все натуральные $n$, при которых значение выражения $n^4 + 4$ является простым числом, попробуем разложить это выражение на множители.

Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем одно и то же слагаемое, а именно $4n^2$: $n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Группа слагаемых $n^4 + 4n^2 + 4$ представляет собой полный квадрат $(n^2 + 2)^2$. Таким образом, мы можем переписать выражение в виде разности квадратов: $(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = n^2 + 2$ и $b = 2n$: $(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Итак, мы получили разложение исходного выражения на два множителя: $n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Чтобы число $n^4 + 4$ было простым, один из его множителей должен быть равен 1, а второй — самому этому простому числу (поскольку оба множителя являются натуральными числами при натуральном $n$).

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то второй множитель $n^2 + 2n + 2$ всегда будет больше первого множителя $n^2 - 2n + 2$. Следовательно, чтобы произведение было простым числом, меньший множитель должен быть равен 1.

Приравняем меньший множитель к 1: $n^2 - 2n + 2 = 1$

Решим это квадратное уравнение: $n^2 - 2n + 1 = 0$ $(n - 1)^2 = 0$

Единственное решение этого уравнения — $n = 1$.

Проверим, является ли значение выражения простым числом при $n=1$: $1^4 + 4 = 1 + 4 = 5$ Число 5 является простым.

Теперь убедимся, что при $n > 1$ выражение $n^4 + 4$ является составным числом. Если $n > 1$ (т.е. $n \ge 2$), то оба множителя будут больше 1:

• Первый множитель: $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1$. Так как $n \ge 2$, то $n-1 \ge 1$, и $(n-1)^2 + 1 \ge 1^2 + 1 = 2$.
• Второй множитель: $n^2 + 2n + 2$. Так как $n \ge 2$, то $n^2+2n+2 \ge 2^2+2 \cdot 2+2 = 4+4+2 = 10$.

Поскольку при $n > 1$ оба множителя являются целыми числами, большими 1, их произведение $n^4 + 4$ является составным числом.

Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором $n^4 + 4$ является простым числом, это $n = 1$.

Ответ: $n = 1$.