Номер 30.34, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.34, страница 249.

Условие.

30.34. Докажите, что число $24^{24}-1$ кратно 35.

Решение.

Чтобы доказать, что число $24^{24} - 1$ кратно 35, необходимо доказать, что оно одновременно кратно 5 и 7, так как $35 = 5 \times 7$, а числа 5 и 7 являются взаимно простыми.

1. Докажем кратность 5

Для этого воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Рассмотрим остаток от деления числа 24 на 5:$24 \equiv 4 \pmod{5}$, или что то же самое, $24 \equiv -1 \pmod{5}$. Возведем обе части сравнения в степень 24:$24^{24} \equiv (-1)^{24} \pmod{5}$. Поскольку показатель степени 24 является четным числом, то $(-1)^{24} = 1$. Таким образом, получаем:$24^{24} \equiv 1 \pmod{5}$. Вычитая 1 из обеих частей сравнения, получим:$24^{24} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5}$. Сравнение $24^{24} - 1 \equiv 0 \pmod{5}$ означает, что число $24^{24} - 1$ делится на 5 без остатка.

2. Докажем кратность 7

Теперь рассмотрим то же выражение по модулю 7. Найдем остаток от деления 24 на 7:$24 = 3 \times 7 + 3$, следовательно, $24 \equiv 3 \pmod{7}$. Тогда$24^{24} \equiv 3^{24} \pmod{7}$. Для упрощения $3^{24}$ воспользуемся малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. В нашем случае $p = 7$ (простое число) и $a = 3$ (не делится на 7). Применяя теорему, получаем:$3^{7-1} \equiv 3^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Теперь представим степень 24 как произведение с множителем 6: $24 = 6 \times 4$.$3^{24} = 3^{6 \times 4} = (3^6)^4$. Используя свойство сравнений и результат теоремы Ферма, находим:$3^{24} = (3^6)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{7}$. Значит, $24^{24} \equiv 1 \pmod{7}$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем:$24^{24} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{7}$. Это означает, что число $24^{24} - 1$ делится на 7 без остатка.

Поскольку мы доказали, что число $24^{24} - 1$ делится и на 5, и на 7, а числа 5 и 7 взаимно просты, то оно должно делиться и на их произведение $5 \times 7 = 35$.

Ответ: Утверждение доказано.