Номер 29.24, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.24, страница 240.

Условие.

29.24. Решите уравнение:

1) $n + S(n) = 1000$;

2) $n^2 + (S(n))^2 = 1000$.

Решение.

1) $n + S(n) = 1000$

Здесь $n$ — натуральное число, а $S(n)$ — сумма его цифр.

Поскольку $S(n)$ — сумма цифр натурального числа $n$, $S(n) > 0$. Из уравнения $n = 1000 - S(n)$ следует, что $n < 1000$.

Оценим количество разрядов в числе $n$:

• Если $n$ — число с 1 или 2 разрядами, то максимальное значение $n$ равно 99, а максимальная сумма цифр $S(99)=18$. Тогда максимальное значение суммы $n+S(n)$ будет $99+18=117$, что меньше 1000.
• Если $n$ — число с 4 или более разрядами, то $n \ge 1000$, и тогда $n+S(n) > 1000$.

Следовательно, $n$ — трехзначное число.

Представим $n$ в виде $100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — его цифры ($a \in \{1, ..., 9\}, b, c \in \{0, ..., 9\}$). Тогда $S(n) = a+b+c$. Подставим это в уравнение:

$(100a + 10b + c) + (a+b+c) = 1000$

$101a + 11b + 2c = 1000$

Оценим значение $a$. Максимально возможное значение для $11b + 2c$ равно $11 \cdot 9 + 2 \cdot 9 = 99 + 18 = 117$.

Тогда $101a = 1000 - (11b + 2c) \ge 1000 - 117 = 883$.

Отсюда $a \ge \frac{883}{101} \approx 8.74$. Поскольку $a$ — целая цифра от 1 до 9, то $a$ может быть только 9.

Подставим $a=9$ в уравнение:

$101 \cdot 9 + 11b + 2c = 1000$

$909 + 11b + 2c = 1000$

$11b + 2c = 91$

Теперь найдем цифры $b$ и $c$. Из уравнения $11b = 91 - 2c$ следует, что $11b$ должно быть нечетным числом (так как $91$ — нечетное, а $2c$ — четное). Это означает, что $b$ должно быть нечетной цифрой: $b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$.

Проверим возможные значения $b$:

• Если $b=1$, то $11 + 2c = 91 \Rightarrow 2c = 80 \Rightarrow c = 40$. Не является цифрой.
• Если $b=3$, то $33 + 2c = 91 \Rightarrow 2c = 58 \Rightarrow c = 29$. Не является цифрой.
• Если $b=5$, то $55 + 2c = 91 \Rightarrow 2c = 36 \Rightarrow c = 18$. Не является цифрой.
• Если $b=7$, то $77 + 2c = 91 \Rightarrow 2c = 14 \Rightarrow c = 7$. Является цифрой.
• Если $b=9$, то $99 + 2c = 91 \Rightarrow 2c = -8 \Rightarrow c = -4$. Не является цифрой.

Единственное подходящее решение — $b=7$ и $c=7$.

Таким образом, цифры числа $n$ это $a=9, b=7, c=7$, то есть $n=977$.

Проверка: $S(977) = 9+7+7=23$. $977 + 23 = 1000$. Равенство верно.

Ответ: $n=977$.

2) $n^2 + (S(n))^2 = 1000$

Из уравнения следует, что $n^2 < 1000$. Тогда $n < \sqrt{1000} \approx 31.6$. Поскольку $n$ — натуральное число, $1 \le n \le 31$.

Воспользуемся свойством сравнимости числа и суммы его цифр по модулю 9: $n \equiv S(n) \pmod{9}$. Это означает, что $n$ и $S(n)$ имеют одинаковые остатки при делении на 9.

Рассмотрим исходное уравнение по модулю 9:

$n^2 + (S(n))^2 \equiv 1000 \pmod{9}$

Так как $n \equiv S(n) \pmod{9}$, то и $n^2 \equiv (S(n))^2 \pmod{9}$. Заменим $(S(n))^2$ на $n^2$:

$n^2 + n^2 \equiv 1000 \pmod{9}$

$2n^2 \equiv 1000 \pmod{9}$

Найдем остаток от деления 1000 на 9. $1000 = 111 \cdot 9 + 1$, следовательно, $1000 \equiv 1 \pmod{9}$.

Получаем сравнение:

$2n^2 \equiv 1 \pmod{9}$

Чтобы решить это сравнение, умножим обе части на 5, так как $2 \cdot 5 = 10 \equiv 1 \pmod{9}$ (число 5 является обратным к 2 по модулю 9).

$5 \cdot 2n^2 \equiv 5 \cdot 1 \pmod{9}$

$10n^2 \equiv 5 \pmod{9}$

$n^2 \equiv 5 \pmod{9}$

Это означает, что квадрат натурального числа $n$ должен давать остаток 5 при делении на 9. Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 9. Для этого достаточно проверить остатки от 0 до 8:

• $0^2 = 0 \equiv 0 \pmod{9}$
• $1^2 = 1 \equiv 1 \pmod{9}$
• $2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{9}$
• $3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$
• $4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$
• $5^2 = 25 \equiv 7 \pmod{9}$
• $6^2 = 36 \equiv 0 \pmod{9}$
• $7^2 = 49 \equiv 4 \pmod{9}$
• $8^2 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$

Таким образом, возможные остатки от деления квадрата целого числа на 9 — это 0, 1, 4, 7. Остаток 5 в этом списке отсутствует. Это означает, что не существует такого целого числа $n$, для которого $n^2$ давало бы остаток 5 при делении на 9.

Следовательно, сравнение $n^2 \equiv 5 \pmod{9}$ не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: решений нет.