Номер 29.26, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.26, страница 240.

Условие.

29.26. Натуральное число $n$ таково, что $S(n) = S(5n)$. Докажите, что $n$ кратно 9.

Решение.

Воспользуемся известным свойством суммы цифр: любое натуральное число даёт тот же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. В терминах сравнений по модулю это можно записать так:
$n \equiv S(n) \pmod{9}$
Аналогично для числа $5n$:
$5n \equiv S(5n) \pmod{9}$

По условию задачи дано, что $S(n) = S(5n)$.
Из этих трех утверждений следует, что остатки от деления чисел $n$ и $5n$ на 9 равны. Запишем это в виде сравнения:
$n \equiv 5n \pmod{9}$

Вычтем $n$ из обеих частей сравнения:
$5n - n \equiv 0 \pmod{9}$
$4n \equiv 0 \pmod{9}$

Это означает, что произведение $4n$ делится на 9 без остатка. Поскольку числа 4 и 9 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), для того чтобы произведение $4n$ было кратно 9, необходимо, чтобы число $n$ было кратно 9.
Таким образом, доказано, что $n$ кратно 9.

Ответ: Что и требовалось доказать.